﻿über die Flächen zweiter Ordnung etc. 107 



Hieraus findet man zur Bestimmung der Richtung der diesem Strahle 2;ugehörigen 

 Diametralebene: 



ro, = <+o'^; +»: = (<'C+^'-'+''-^+<'--) _ (af+cv+»-r+.-o _ ^i^TV 



P P' f' 



hiemit wegen T^- = T^,=T^,= 



{uy 



Wx lOy IV-i 1 



Aus der Vergleichung dieser Gleichung mit (12) schliesst man, dass die berührende Ebene 

 im Punkte (?, >j, C) zu derjenigen Diametralebene parallel sein muss , welche dem Beriihrnngs- 

 durchmesser conjugirt ist. 



Wird verlangt, dass eine berührende Eb^ne durch einen ausserhalb der Fläche liegenden 

 Punkt [x\y',z') hindurchgehe, so erhalten wir zur Bestimmung des entsprechenden Berüh- 

 rungspunktes, welcher der Ebene und der Fläche gemeinschaftlich angehören muss, folgende 

 Relationen : 



u,^0', 0(^T,-VyT^-^z'T, + T = 0. (U) 



Man überzeugt sich leicht, dass die Relationen (14) auch so geschrieben werden können: 



M,=:0; IT,, + 7j7;, + Cr.+f=0. (15) 



Betrachtet man einstweilen (S, tj, C) als variabel, so stellt die erste Gleichung in (15) die 

 Flächengleichung vor, die zweite hingegen ist die analytische Gleichung emer Ebene. Die 

 Coexistenz der Relationen (15) verlangt somit, dass (8, >j, C) denjenigen Punkten entnommen 

 werden solle, welche in der gegebenen Fläche und in der durch (15) angedeuteten Ebene 

 gleichzeitig gelagert sind. Die Aufeinanderfolge dieser Punkte bildet eine ebene Curve der 

 zweiten Ordnung und jeder ihrer Punkte ist fähig, den verlangten Berührungspunkt vorzustellen. 

 Diese Curve könnten wir Berührungs curve und das durch diese Curve begrenzte ebene (1^) 

 Flächenstück die Berührungsscheibe nennen. Die Aufeinanderfolge der Strahlen, die vom 

 Punkte (x, y\ z) ausgehen, und an dem Umfange der gedachten Berührungscurve gleiten, 

 bildet den Verlauf einer Kegelfläche der zweiten Ordnung, welche im Punkte {xy'^) ihren 

 Scheitel besitzt, die gegebene Fläche berührt, und aus diesem Grunde der berührende 

 Kegel genannt wird. 



Die Verbindungslinie des Punktes {xy'z!) mit dem Flächencentrum (6', vj', C) habe die 

 Richtungscomponenten k^^ ky. k. und man Brhält wie in (13)' 



^ = ^ = ^ = 1 ; p'= (x'-f ) [. -r] + &, ' (1 -) 



J-x' J-p' J-z' p 



woraus erhellt, dass die durch {xy'z) gehende Centralriehtung zur Diametralebene eine solche 

 Ebene besitzt, welche zu der in (16) erwähnten Berührungsscheibe parallel ist. 



Sind nun^i, j^2 ^^^' Punkte, in welchen die Fläche von der durch {xy'z) gehenden Cen- 

 trallinie getroffen wird, so müssen die in p^ und pg gelegten berührenden Ebenen an die Fläche 

 zur Berührungsscheibe und unter einander parallel sein. 



