﻿108 Lorenz Zmurko. 



Sei r" die Distanz des Punktes {x'y'z') von der in (15) dargestellten Berührungsscheibe, 

 gemessen in irgend einer etwa durch ^'^, k^, k^ bestimmten Richtung L, so findet man der in 

 der Einleitung gegebenen Relation (57) gemäss: 



(l«j r =- 



"^X J- x' "r .y -^ S/' I ^3 -^ s' 



(19) 



Derselbe durch den Punkt {x'y'z') gehende Strahl L trifft auch die gegebene Fläche in den 

 Entfernungen r,, rg, deren Werthe sich aus der bekannten Gleichung: 



in folgender Weise ergeben. Man findet : 



s{r, + r.;) = — ^2t=-.^hT, + kj, + kj^:\ 



sr,r, = u^,= x'T^, + y'T, + zT,-\^T, 

 hiemit ^, 



r,-\-r, lc,T,.-^kyTy'-\-hT,j 



Aus der Vergleichung von (18) und (19) erhält man: 



27\ro = r" {i\ + r-g) 

 oder 



(20) r^{r^—r") = rlr"—T^. 



Der Gleichung (20) gemäss bilden die Punkte p', p^, p", j:>2? von denen der erste durch 

 {x'y'z') bestimmt ist, und die übrigen drei beziehungsweise den Radien r^, /•", r^^ als Endpunkte 

 angehören, ein harmonisches Punktsystem, welches in zwei Paare: p'p" und p^jp^ von je ein- 

 ander zugeordneten Punkten zerfällt. Ist die Lage von p'pip^ bereits gegeben, so findet man 

 die Lage des Punktes j^" durch folgende sehr einfache Construction : 



Man verbindet p und pa ^ai* irgend einem ausserhalb der Geraden 



p'p^ liegenden Punkte 0, zieht durch pi die Gerade mrdHOp^ und macht 

 \ jp^mi^zp^m-^ dann ist p" derjenige Punkt, in welchem die Gerade p'p^ 



\ von der Geraden Om' getroffen wird. 



\ Um diese Construction nachzuweisen, findet man aus dem Drei- 



^^ ecke Omp^: 



sin a : sin (et -f- (3 + y) = mp^ : Op^ ; 

 ebenso aus dem Dreiecke om'pj^ 



sin ß : sin -y = m'p^ : Op^ = mp^ : Op^ ; 

 hieraus findet man: 



(21) sinasiny =: sinßsin (a-f-j34-Y)• 

 Ist Ä die senkrechte Distanz des Punktes von p'p^, so erhält man die Flächeninhalte der 



Dreiecke ^'0^1 ; p"Op^\, pßp"'f p'Op^ in folgenden Doppelformen: 



p'p^ .h^Op' . Opi sin a ; p'p^ . h = Op" . Opo sin Y 



p^p" . Ä = Opi . Op" sin ß ; p'p^ . h = Op^ . Opa sin (« + ß + y)- 



