﻿über die Flächen zweiter Ordnung etc. 109 



Durch Multiplication der ersten zwei Gleichungen erhält man: 



j5'^i .p"p2-^^=^i(^2 — r") Ä^ = qp' . oj? 1 . qp" . 02?2 sin a sin Y, 

 eben so 



Pi-P" 'P'P2 • ^'^= ^2(^" — ^i) ^" = op . op^ . op" . op^ sin ß . sin (a -|- ß -f -y) 



und mit Rücksicht auf (21) erhält man schliesslich im Einklänge mit (20) 



riir^—t'") = r.i(r" — r^). 



Wenn man also von p' aus drei Strahlen legt und die Durchschnittspunkte der gegebenen 

 Fläche mit diesen Strahlen bestimmt, und dann nach der eben gegebenen Methode in jedem 

 dieser drei Strahlen den vierten harmonischen Punkt bestimmt; so erhält man drei Punkte 

 welche wegen (20) in die Berührungsscheibe fallen müssen, und zur Bestimmung ihrer Lage 

 vollkommen hinreichen. 



Ist der Punkt (x'y'z') auf der concaven Seite der gegebenen Fläche angenommen , so ist 

 natürlicherweise von diesem Punkte aus kein berührender Kegel an die Fläche möglich, und 

 die in (15) analytisch bestimmte Ebene wird wohl der in (20) ausgeprägten Bedingung Genüge 

 leisten, ohne je mit der Fläche einen Durchschnitt zu geben; und die oben erwähnte Berüh- 

 rungscurve zu veranlassen. Diese Benennungen sind in solchen Fällen uneigentlich, wir werden 

 daher besser thun , wenn wir von den zwei harmonisch zugeordneten Gebilden das Ausgangs- 

 gebilde (hier der Punkt x'y'z') mit dem Namen Pol, und das gefolgerte Gebilde [hier die Ebene 

 (15)] mit dem Namen das polare Gebilde belegen. 



Nimmt man die Gerade 



x'=mz' -\-m'; y'=nz' -{-n' . . . . L' (22) 



zur Pol-Geraden an, so erhält man zur Bestimmung des polaren Gebildes aus (14) und (22) 

 folgende Gleichungen: 



{mz' + m')T^-]-{nz'-\-n')l\-\-z'T^-^T=0, 



welche für jedes beliebige z bestehen soll, und daher in folgende zwei Relationen zerfällt : 



mT, + nT^-^T,= 0; m'T,-\- n'T^ + T=0, (23) 



oder auch: 



i [am + c'n' + fe' ] + rj [5w + a' + c'm] + C [c + 6'm -f a'n] + {a"m -f b"n + c") = 



L". . 



e [am' 4- c'n' + a"] + ttj [bn' + c'm' + b"] + C [b'm' + an -f c"] + {a"m' + b"n' -\-d) = {). 



Das zur Polgeraden L' gehörige polare Gebilde ist somit ebenfalls eine Gerade L", welche 

 in (23) oder (24) analytisch dargestellt ist. 



Wird die gegebene Fläche von L" getrofi'en, so geschieht diess in zwei Punkten, deren jeder 

 in einer solchen berührenden Ebene liegt, welche durch die Gerade L' hindurchgeht. 



Die erste in (23) gegebene Ebene bezeichne man mit E', die zweite mit E'", eine durch 

 L' und das Flächencentrum gelegte Ebene mit E", eine durch das Flächencentrum und den 

 Punkt {x =:m', i/ = n', z = ö) gelegte Gerade mit L", die Durchschnittsgerade von E' und E'' 

 durch L, und es wird leicht sein folgende Behauptungen mit Beweisen zu belegen: 



(24) 



