﻿110 Lorenz Zmurko. 



Die zur Sehnenrichtung L gehörige Diametralebeue ist parallel zu JS" 



T!" TP'" 



Somit ist die durch L und L" gelegte Ebene E" eine zur Sehnenrichtung L" zugehörige 

 Diametralebene. 



(26) Schliesslich ist L//E' und L//E'\ bildet somit mit den Richtungen L' und L" ein conjugirtes 

 Axensystem, 



Zum Behufe der Nachweisungen in (25) braucht man nur die Werthe w^, w^, w^ in Bezug 

 auf die Richtungen L und L'" zu berechnen und man erfährt, dass diese Werthe im ersten 

 Falle den Coefficienten der ersten in (24), im zweiten Falle den Coefficienten der zweiten 

 Gleichung in (24) proportionirt ausfallen. 



Nimmt man in der Geraden L einen Punkt P" . . . {x"y"s!') als Pol an, so ist die zugehörige 

 polare Ebene folgende: 



(27) ~ ^T^„^-r^T,„+-QT,„-^T=0 oder x"T, + y"T, + z"T,-\- T=0. 



Diese Ebene schneidet die Gerade L in einem Punkte P'" (6, vj, C), welcher der Gegen- 

 punkt von P" heissen mag. Hiebei schliessen sich an die Gleichung (27) noch folgende an: 



(28) x"=mz" -\-m'', y" =nz" -{- n' -, ^ = mC,-^m'-, yj = wCH-w'. 



Mittelst der fünf Gleichungen in (27) und (28) lassen sich die Coordinaten 6, vj, C? y"x" 

 bestimmen, sobald man den Werth von z" annimmt. Hiedurch ist nun P" vollkommen bestimmt. 



Nimmt man umgekehrt den Punkt P'" zum Pol an , so ergeben sich zur Bestimmung der 

 Lage des zugehörigen Gegenpunktes (8', vj', C) vollkommen dieselben Gleichungen, wie in 

 (27) und (28) mit dem Unterschiede, dass in den letzteren die Buchstaben BrjC mit Strichen 

 versehen sein werden. Hieraus schliesst man, dass man 8'= 6; ^1=^1 und C= C finden wird, 

 dass somit P" als Gegenpunkt von P'" sich ergeben muss. Solcher Paare von Gegenpunkten 

 findet man unendlich viele. 



IatP..(xyz) der Durchschnittspunkt der Geraden P' mit der Ebene E', so erhält man zur 

 Bestimmung der Coordinaten von P folgende Gleichungen: 



mP, + 7zr„ + p = o 



X = mz + m ; y = nz-\-n. 



Wenn wir die Bedeutung von v, g, u^, aus den Relationen: 



?; = m'(aTO + c':^ + 6') + w'(6w + a' + c'm) + (a"m' + 6V + c") . 

 (30) g^=m[am-\ dn^h')^n{bm-^d + dm)-\-{c-\-dn-\-h'n) 



u^, — am"' + bn'^ + 2r m'n + 2a"m'-\- 2b"n' -\-d 



entnehmen, so finden wir mittelst den Gleichungen (27), (28) und (29) folgende Resultate: 



g' ' g^"-\-^ ' 



