﻿über die Flächen zweiter Ordnung etc. 111 



hieraus : 



~ gz"-{-v g ' g 



und 



(,_g (,_.") = __-i. _ (31) 



Man hat aber für die Richtung der Geraden L 



kl=: l:(m^4-w^+l + 2weosa+2mcosß+2w?wcosY) = 1:3 



k^ k^ 



hiemit wegen (31) 



Hier sehen wir, dass das Product aus den Distanzen des Punktes P von zwei zusammen- 

 gehörigen Gegenpunkten von der Wahl des Werthes von s" vollkommen unabhängig ist; dass 

 somit dieses Product den in (32) ersichtlichen Werth für ein beliebiges Gegenpunktenpaar 

 beibehalten muss. 



Nimmt man endlich die Ebene 



s'=mx'-|-w?/'-t-^ (33) 



zur Polebene an, so erhält man als Gleichung des zugehörigen polaren Gebildes folgende: 



Diese zerfällt wegen beliebigen Werthen von x'und r/'in folgende drei: 



r, + mr,= 0; T^^-nT^=0', rr, + r=0, (35) 



wodurch drei Ebenen angedeutet sind, welchea das polare Gebilde gemeinschaftlich angehört. 

 In diesem Falle ist somit das polare Gebilde ein Punkt, in welchem sich die Ebenen (35) 

 schneiden. Es müsste dieser die Gleichung m^ = erfüllen, also in der gegebenen Fläche 

 enthalten sein, damit die Ebene (33) die Fläche berühre. Ist der polare Punkt nicht in der 

 Fläche enthalten, so könnte man durch diesen Punkt eine unzählige Anzahl von Ebenen legen, 

 deren jede die Fläche in einer Kegelschnittslinie schneidet und auf einen berührenden Kegel 

 hinweist, dessen Scheitel in der Polebene sich aufhält. 



Die in (33) liegende Gerade [?/'=(); s' = wa:' -f r] liefert für p'^ = w^ -|- 1 + 2m cos ß die 

 Richtungscomponenten 



hiemit : 



pw^ z= a-\- dm ; p^o„ = a'm + c'; pw;, = cm + h'\ 



stellt somit eine Sehnenrichtung vor, deren zugehörige Diametralebene durch die erste 

 Gleichung in (35) dargestellt ist. Eben so lässt es sich zeigen, dass die in (33) enthaltene 



