﻿112 Lorenz Zmurko. Über die Flächen zweiter Ordnung etc. 



Gerade L" . . .(x'=0; z'=7iy'-\-r) eine Sehnenrichtung repräsentirt, deren zugehörige Diame- 

 tralebene durch die zweite Gleichung in (35) dargestellt ist. Es ist demgem'äss die Verbin- 

 dungsgerade L des polaren Punktes mit dem Flächencentrum, welche den ersten zwei in (35) 

 gegebenen Ebenen gemeinschaftlich ist, der Richtung der in (33) aufgestellten Polebene als 

 conjugirter Durchmesser angehörig. 



Hieraus folgt, dass die berührenden Ebenen in denjenigen Punkten, in welchen die ange- 

 gebene Fläche von L getroffen wird, zu der Polebene parallel sein müssen. 



Hier kann noch bemerkt werden, dass die merkwürdige Eigenschaft der dem polaren 

 Gebilde angehörigen Fundamentalgleichung: 



(36) i?;, + >jr,- + CT.,+T = o . 



vermöge welcher in derselben x- mit 6, z/'mit yj, s' mit C gleichzeitig vertauscht werden dürfen, 

 ohne die Gleichung zu stören, die Behauptung rechtfertigt: dass von zwei als Pol und Polares 

 einander angehörigen Gebilden, ein beliebiges als Pol angenommen, das zweite als Polares 

 liefern muss. 



Schliesslich möge uns gestattet sein, folgende recht interessante Eigenschaft der Flächen 

 zweiter Ordnung zu erweisen: 



Wenn zwei Flächen zweiter Ordnung F^, F2 einander schneiden, so er- 

 (37) hält man in der Regel zwei Durchschnittcurven Cj und C^ von der Beschaf- 

 fenheit, dass, wenn eine von diesen Curven als eine ebene vorausgesetzt 

 wird, die andere nothwendig auch eine ebene Gurve sein muss. 



Beweis. Ist etwa G^ eine ebene Curve, so beziehe man die Flächen i^j,, F^ auf ein Axeu- 

 system Ox, Oe/, Os, von welchen Ox, Oy in die Ebene d zu liegen kommen, und man erhält 

 mit Rücksicht auf den Umstand, dass für s = für beide Flächen die gemeinschaftliche Schnitt- 

 curve Ci hervorgehen soll, die Gleichungen dieser Flächen in folgender Form: 



(38) 



F, — ax^ + by"" -{- cz^ -f- 2a>s + 2b' zx + 2c' xy -\- 2d'x + 2b" y -f 2c" z -\-d=0 

 F, = ax' + by' -f Gz' + 2A'yz + 2JB'zx + 2c'xy + 2a" x + 2b"y -f 2G"z -f c? = 0. 

 Hieraus erhält man : 

 (39) F,—F, = z {2 {B'—b') x-\-2 {A—d) y 4- {G—c) s-}- 2 {G"—d')\ = 0. 



Die vorstehende Gleichung wird durch alle in G^ und Cg liegende Punkte erfüllt, und 

 deutet auf zwei Ebenen, von denen die erste [z = 0] der Annahme gemäss die Curve Ct in sich 

 enthält, und somit die zweite [2 (B' — b') x-\-2 {Ä—d)y + (C — c) z+2 (C" — c") = 0] der Aussage 

 in (37) entsprechend die Curve Cg beherbergen muss. 



Ergiebt sich hiebei: 



B'=b'- Ä=d- G=c, 

 so erhält man: 



(40) F,—F, = 2 (G"—c") z=0. 



In diesem Falle ist G^ die einzig mögliche Schnittcurve. Für Ä=d, B'=b', G"=c' hat man: 



(41) F,—F, = (G—c) z' = 0. 



In diesem Falle fallen d und G^ in einander und demgemäss ist G^ eine Berührungscurve, 



