ÜBER DIE KONFORME ABBILDUNG DER RMANN'SCHEN 

 FLÄCHE DURCH ABEL'SCHE INTEGRALE. BESONDERS BEI p=l, 2 



VON 



WILHELM WIRTINGER, 



W. M. K. AKAD. 



Mit 26 Textfiguren. 



VORGELEGT IN DER SITZUNG AM 29. APRIL 1909. 



SeitJacobi 1 den Nachweis geliefert hat, daß das einzelne hyperelliptische Integral erster Gattung 

 nicht eindeutig umkehrbar ist, sind meines Wissens über die Art der Abhängigkeit dieser Integrale von der 

 oberen Grenze und den Moduln des Gebildes keine Untersuchungen angestellt worden, welche über die 

 Periodizität und Verzweigung hinausgehen. 



Die letztere ist ja namentlich durch die Riemann'sche Figur von p Parallelogrammen, welche durch 

 2p— 2 Verzweigungspunkte miteinander verknüpft sind, dem Verständnis näher gerückt. 



Einzelne Bemerkungen bei Prym, 2 Thomä, 3 Casorati 4 und Klein 5 betreffen spezielle Gestalten 

 dieser Figur. 



Da es sich dabei um ein periodisch sich wiederholendes Größengebiet handelt, welches allerdings 

 die Ebene mehrfach überdeckt, so zeigt sich, daß nach einer leichten Modifikation der Begriff des nor- 

 malen Diskontinuitätsbereiches, wie er von Fricke 6 in die Theorie der automorphen Funktionen ein- 

 geführt wurde, auch hier sein Analogon besitzt und gestattet, gewisse Normalformen des Bereiches auf- 

 zustellen. 



Dieses allgemeine Ergebnis wird dann speziell für die Untersuchung eines besonderen elliptischen 

 Integrals zweiter Gattung verwendet und dabei die Berechnung des Moduls aus dem Periodenverhältnis 

 eines solchen Integrals gezeigt. Es ergibt sich dabei zum Beispiel, daß nicht jedes elliptische Gebilde in die 

 Gestalt des Äußeren eines Parallelogrammes gebracht werden kann, sondern gewisse Ungleichungen dafür 



i J. f. M._13^(1835). Ges. Werke, II, p. 23. 



2 Denkschr. d. k. Akad., Wien, 1864. 



3 Sammlung von Formeln, die bei Anwendung der eil. und Rosentain'schen Funktionen gebraucht werden. Halle, 1878. 



4 Acta Mathem., Bd. VIII. 



5 Autogr. Vorlesung" über Riemann'sche Flächen. Göttingen, 1892, I, p. 61 ff. 



6 Automorphe Funktionen, I, p. 106 (1897). 



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