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erfüllt sein müssen. Sodann wendet sich die Untersuchung dem hyperelliptischen Integral erster Gattung 

 zu und gelangt schließlich zu dem Ergebnis, daß bei geeigneter, durch das Integral im allgemeinen ein- 

 deutig bestimmter Zerschneidung der Riemann'schen Fläche die Abbildung des einzelnen Blattes durch das 

 Integral ein sich selbst nicht schneidendes, einfaches geradliniges Sechseck mit gewissen geometrischen 

 Bedingungen wird. 



Hierin liegt das Analogon des von Schwarz 1 für den Fall des elliptischen Gebildes bewiesenen 

 Satzes von der Abbildung auf ein spitzwinkeliges Dreieck. Auch die lineare Periodentransformation 2 

 bekommt am Sechseck eine einfache und übersichtliche Gestalt und liefert sofort die. Zusammensetzung 

 sämtlicher Transformationen aus zwei geeigneten. 



I. Die Elementarzellen bei beliebigen algebraischen Gebilden. 



Es sei G ein algebraisches Gebilde vom Geschlechte p, welches in der Form einer Riemann'schen 

 Fläche gegeben ist. u bezeichne eine Integralfunktion auf diesem Gebilde, das heißt eine Funktion, die 

 nur logarithmische und algebraische Unstetigkeiten besitzt und bei geschlossenen Wegen auf dem 

 Gebilde sich nur um Kpnstante vermehrt. F sei durch irgend ein Schnittsystem einfach zusammen- 

 hängend gemacht und es sei dabei auch ein Umlaufen der einzelnen logarithmischen Unstetigkeitsstellen 

 ausgeschlossen. Die konforme Abbildung von F vermittels des Integrales u besteht dann aus einem ein- 

 fach zusammenhängenden Flächenstücke, welches in seinem Innern Verzweigungspunkte enthalten kann, 

 und dessen Ränder paarweise durch Parallelverschiebung zusammengeordnet sind. Sind logarithmische 

 Unstetigkeiten vorhanden, so treten in das Unendliche ziehende Parallelstreifen hinzu. Außerdem kann 

 das Flächenstück sich noch in einem oder mehreren Blättern in das Unendliche erstrecken. Dieses 

 Flächenstück sei P . Bei analytischer Fortsetzung von u über die Berandung \onF treten an das Flächen- 

 stück P kongruente P v P 2 . ., die schließlich die Ebene unendlich oft überdecken, wenn nicht u selbst 

 eine algebraische Funktion oder ein elliptisches Integral I. Gattung ist. 



Diese bilden in ihrer Gesamtheit eine unendlich vielblättrige, nirgends berandete Riemann'sche 

 Fläche II, die nur Verzweigungspunkte von endlich hoher Ordnung aufweist. 



Denken wir uns umgekehrt eine solche Fläche II mit ihren Verzweigungen und Periodizitätseigen- 

 schaften gegeben, so ist durch diese sowohl die Riemann'sche Fläche F als auch das Integral u auf dieser 

 vollkommen bestimmt. Die einzelnen Punkte von II sind zufolge der Periodizität zueinander in Beziehung 

 gesetzt, so daß jeder Punkt unendlich viele äquivalente Punkte hat, entsprechend den unendlich vielen 

 Wiederholungen von P . Dabei kommt für die Äquivalenz zweier Punkte sowohl ihre gegenseitige Lage 

 als auch das Blatt, in dem sie liegen, in Betracht. Im besonderen können Verzweigungspunkte nur 

 äquivalent sein, wenn sie von gleicher Ordnung sind. Eine Häufung der Verzweigungspunkte tritt zufolge 

 der Beschaffenheit von P nicht ein. 



Wir nehmen einen regulären Punkt u auf II und denken uns von diesem alle Geraden auf dem 

 Blatte von II gezogen. Wenn eine solche Gerade einen Verzweigungspunkt von II trifft, so möge sie dort 

 enden. Dadurch ist dem Punkte u ein Gebiet, ein Stern nach Mittag-Leffler, zugeordnet, welches 

 aus allen diesen Geraden angehörigen Punkten besteht und keinen Verzweigungspunkt in seinem Innern 

 enthält. Es umfaßt also dieses Gebiet alle diejenigen Punkte von II, die mit u geradlinig verbunden 



i J. t. M. 70 (1868). Ges. Abhandl., II, p. 90ff. 



2 Es sei mir bei der Gelegenheit gestattet, zu bemerken, daß der von mir gelegentlich ohne Beweis ausgesprochene Satz, 

 daß die verallgemeinerten hypergeometrischen Integrale mit 6 Verzweigungspunkten durch die xik des hyperelliptischen Gebildes 

 eindeutig darstellbar seien, irrtümlich ist. Es sind vielmehr die Mannigfaltigkeiten t 12 = Verzweigungsmannigfaltigkeiten und 

 ihre äquivalenten? 



