Abbildung der Riemann' sehen Fläche. 93 



werden können, so daß immer die Verbindungsstrecke mit einem IT angehürigen Flächenstücke umgeben 

 werden kann und durch keinen Verzweigungspunkt geht. Da ja die Verzweigungspunkte sich im End- 

 lichen auf der Fläche II nie häufen, so gehört jetzt zu n ein einziger oder nur eine endliche 

 Anzahl von Verzweigungspunkten, welche ihm, immer auf II gemessen, näher liegen als 

 alle übrigen. 



Zu jedem Verzweigungspunkte w gehört daher umgekehrt ein Bereich von Punkten w , so daß vi 

 der nächste zu u gelegene Verzweigungspunkt ist, der mit einem Punkte u auf der Fläche II gerad- 

 linig verbunden werden kann. Die Gesamtheit dieser Punkte u, die auf diese Weise einem Ver- 

 zweigungspunkte w zugeordnet sind, bilden nun einen diesen Verzweigungspunkt nach 

 allen Seiten umgebenden, einfach zusammenhängenden, geradlinig begrenzten Bereich 

 Z w ohne einspringende Winkel, der als die Elementarzelle des Verzweigungspunktes w 

 bezeichnet werden soll. 



In der That: zieht man vom Verzweigungspunkte w aus in allen in ihm zusammenhängenden 

 Blättern sämtliche Strahlen und bricht sie dort ab, wo sie auf andere Verzweigungspunkte treffen, so 

 bildet die Gesamtheit der diesen Strecken angehörigen Punkte einen einfach zusammenhängenden, den 

 Verzweigungspunkt vollständig umgebenden Bereich B. Errichtet man nun in den Halbierungspunkten der 

 Verbindungslinien von w mit den auf der Begrenzung von B gelegenen Verzweigungspunkten die Senk- 

 rechten, so bleibt eine gewisse Umgebung von w von solchen Senkrechten frei. Diese Umgebung ist not- 

 wendig ein von einer endlichen Anzahl von geraden Linien begrenztes, w mehrfach umlaufendes Polygon. 

 Denn würden unendlich viele Seiten vorhanden sein, so würden sich diese notwendig häufen und damit 

 auch die Verzweigungspunkte im Endlichen eine Häufungsstelle haben. Da ferner die Seiten dieser 

 Polygone Orte solcher Punkte sind, die von zwei Verzweigungspunkten w, w' gleich weit entfernt sind, 

 so liegen die dem betrachteten Begrenzungsstücke des Polygons anliegenden. Punkte, welche zu w 

 gehören, auch auf der w zugewendeten Seite der Begrenzung. Infolgedessen ist es ausgeschlossen, daß 

 eine Gerade, welche mit einem ihrer Teile zur Begrenzung gehört, in das Innere des Polygons eintritt. Es 

 müssen also alle Winkel des Polygons hohle Winkel sein, wie behauptet wurde. 



Zu jedem Verzweigungspunkte w von II gehört nun eine solche Elementarzelle Z w und die Gesamt- 

 heit dieser Elementarzellen erfüllt die Fläche II lückenlos und vollständig; denn jeder Punkt u gehört 

 entweder notwendig zu einem Verzweigungspunkte als dem nächsten, dann liegt er im Innern einer 

 Zelle Z m oder seine kleinste Entfernung von einem Verzweigungspunkt überhaupt ist für mehrere gleich, 

 dann liegt er notwendig auf der Begrenzung der zu diesen Verzweigungspunkten gehörigen Elementar- 

 zellen. Äquivalenten Verzweigungspunkten gehören offenbar kongruente Elementarzellen zu. 



Betrachtet man nun ein vollständiges System nicht äquivalenter Verzweigungspunkte, das heißt ein 

 System von Verzweigungspunkten, von denen keine zwei im Sinne der Periodizität einander äquivalent 

 sind, dagegen jeder andere Verzweigungspunkt einem von ihnen äquivalent ist, so bilden die zu diesen 

 Verzweigungspunkten gehörigen Elementarzellen einen Fundamentalbereich, durch dessen periodische 

 Wiederholung die Gesamtfläche II erzeugt werden kann. 



Wenn die Riemann'sche Fläche II aus einem bekannten Polygon P entstanden ist, hat man nur 

 nötig, die zu den Verzweigungspunkten von P gehörigen Elementarzellen in der durch P angegebenen 

 Anordnung aneinander zu reihen. Wenn aber P nicht bekannt ist, so kann man das folgende Verfahren 

 einschlagen: Man nehme einen beliebigen Verzweigungspunkt w und die zugehörige Elementarzelle Z w . 

 Fällt man auf die Begrenzungslinien von Z w von w aus Senkrechte und verdoppelt sie, so sind die 

 Endpunkte neuerlich Verzweigungspunkte. Unter diesen können einer oder mehrere (oder gar keine) zu w 

 äquivalent sein. Diese lasse man weg. Wenn mehrere untereinander äquivalente sind, so behalte man von 

 jeder Gruppe äquivalenter Punkte nur einen bei. Mit den so hinzugefügten neuen Elementarzellen verfahre 

 man in entsprechender Weise weiter, so daß man durch Ziehen von Senkrechten auf die Begrenzungslinien 

 und Verdoppeln neue Verzweigungspunkte erhält. Von diesen werden jedoch nur solche weiter berück- 

 sichtigt, die weder untereinander noch zu den schon vorhandenen äquivalent sind. Dieser Prozeß muß 



