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notwendig ein Ende haben, da die Anzahl der nicht äquivalenten Verzweigungspunkte als endlich voraus- 

 gesetzt wurde. Er führt schließlich zu einem geschlossenen Bereich, da dann für jede Kante des Gesamt- 

 bereiches bestimmt ist, welche Elementarzelle ihr anliegt. Sollte in einem konkreten Falle sich auf diese 

 Weise nicht ein vollständiges System nicht äquivalenter Elementarzellen ergeben, so wäre dadurch der 

 Nachweis erbracht, daß die Fläche II aus mehreren nicht zusammenhängenden Teilen besteht. In diesem 

 Falle muß das angegebene Verfahren für jeden Teil für sich zum Ziele führen und es sind dann mehrere 

 algebraische Gebilde dadurch definiert. 



Dabei ist zu beachten, daß die einzelnen Elementarzellen voneinander nicht unabhängig sind, 

 sondern außer der Konvexität denjenigen Bedingungen in Bezug auf Winkel und Seiten unterworfen 

 sind, welche daraus entstehen, daß sie sich: 



1. lückenlos ohne Verzweigung aneinander fügen, und 



2. in dem schließlich entstehenden Bereich die einander zugeordneten Kanten parallel sind. 



Die Anordnung dieser Elementarzellen kann jedoch im einzelnen Falle eine verschiedene sein. 

 Ebenso können sich auch einzelne Elementarzellen auf mannigfache Art ins Unendliche erstrecken: 



»Damit ist also gezeigt, daß jedes algebraische Integral die Riemann'sche 

 Fläche Fau feine au seiner endlichenAnzahl von konvexen, geradlinig begrenzten 

 Polygonen, deren jedes in seinem Innern einen Verzweigungspunkt enthält, 

 bestehende Fläche konform abgebildetwerden kann«. 



Die Anzahl der verschiedenen Elementarzellen ist gleich der Anzahl der Nullstellen des Differentials 

 du. Bei einem Integral I. Gattung ist sie niemals größer als 2p— 2. Durch besondere Wahl des Integrals 

 kann die Anzahl auf je— 1 vermindert oder in speziellen Fällen wie im hyperelliptischen auf 1 herab- 

 gesetzt werden. Natürlich erhöht sich dann entsprechend die Ordnung der Nullstelle. 



Statt der Verzweigungspunkte könnten zur Bildung der Elementarzellen andere ausgezeichnete 

 Punkte auf II herangezogen werden. Es würden dann die Verzweigungspunkte im allgemeinen auf die 

 Seiten fallen. 



IL Die Abbildung durch das Integral 



C{% — a x ) dx 



w 



(x — a 2 ) \/(x — a x ) (x — a 2 ) (x — a 3 ) (x — a 4 ) 



Auf der zweiblättrigen Riemann'schen Fläche F mit den Verzweigungspunkten a v a 2 , a s , a± ist das 

 in der Überschrift genannte Integral dadurch charakterisiert, daß es seinen einzigen Pol in a 2 hat und daß 

 sein Differential in a ± von der dritten Ordnung verschwindet. Von den zwölf Integralen dieser Art, welche 

 auf dem elliptischen Gebilde möglich sind, sind nur drei voneinander wesentlich verschieden und diese 

 können in der Weierstraß'schen Bezeichnung geschrieben werden 



$(pu—e$ du (K= 1, 2, 3). 



Die konforme Abbildung, welche durch w von der Riemann'schen Fläche F geliefert wird, nachdem 

 diese vorher einfach zusammenhängend gemacht worden, ist daher ein parallelogrammatisch begrenztes, 

 einfach durch das Unendliche ziehendes Gebiet mit einem Verzweigungspunkt zweiter Ordnungen welchem 

 drei Blätter zusammenhängen. 



Die periodische Wiederholung dieses Gebietes, entsprechend der analytischen Fortsetzung des Inte- 

 grals über die Querschnitte, liefert eine unendlich vielblättrige Fläche F w , deren einzelne Blätter durch 

 die Verzweigungspunkte verknüpft sind, während diese selbst sämtlich im Sinne der Periodizität äqui- 

 valent sind. 



