Abbildung der Rietnann' sehen Fläche. 95 



Nach dem vorigen ist es daher möglich, auf der Fläche eine einzige Elementarzelle II abzugrenzen, 

 durch deren periodische Wiederholung die ganze Fläche erzeugt wird und welche daher ein deutliches 

 Bild der Abhängigkeit des Integrals w von seiner oberen Grenze gibt. 



Man beachte nun zuerst, daß für die Fläche F w die Bilder der Verzweigungspunkte a v a 3 , a i} die 

 wir mit 0, w 3 , w 4 bezeichnen wollen, Symmetriezentren sind, und zwar die letzteren beiden im gewöhn- 

 lichen Sinn, der erstere Punkt aber, den wir zum Mittelpunkt der Elementarzelle zu nehmen haben, in dem 

 Sinne, daß wir erst durch eine Drehung von 3tc um die Fläche F w wieder mit sich selbst zur Deckung 

 bringen können. Denken wir uns ferner die Elementarzelle für konstruiert und die Begrenzungslinien 

 rückwärts auf die Fläche F übertragen, so müssen jetzt diese Begrenzungslinien auf F ein Liniensystem 

 bilden, welches in beiden Blättern gleich verläuft und von welchem außerhalb der Verzweigungspunkte 

 immer mindestens drei Linien zusammenstoßen, da ja die Winkel zweier anstoßender Begrenzungsteile 

 immer kleiner als tu sein müssen, die Summe der in einem Punkt zusammenstoßenden Winkel aber 2 tc 

 sein muß. 



Schließen wir noch a 2 durch einen kleinen doppelt herumlaufenden Kreis aus und erstrecken die 

 Zerschneidung von F nur bis zu diesem Kreis, so können wir zur Bestimmung der Anzahl der Begren- 

 zungsstücke den erweiterten Euler'schen Satz anwenden und habend — k -*-/= — 2p + 2, wo/ die Anzahl 

 der Flächenstücke, k die Anzahl der Linienstücke und e die Anzahl der Ecken in F, also die Anzahl der 

 Zyklen von II bezeichnet. Außerdem haben wir noch die FiK t Fi£? 2 . 



Bedingung 3<?<S2&. Dies gibt für unseren Fall k—e =. 2 

 und daher ß'rS 4, k <L 6. 



Da ferner die Zyklen und Linien auf F in beiden 

 Blättern genau übereinanderliegen müssen, so liegen in 

 jedem Blatt höchstens zwei Zyklen, welche entweder 

 beide auf dem a 2 ausschließenden Kreis liegen oder 

 doch eine von ihnen. Hiemit ergeben sich die beiden in 



der Fig. 1 schematisch angedeuteten Möglichkeiten der Zerschneidung, welche wir als ersten und zweiten 

 Typus unterscheiden wollen. Es ist dabei unmittelbar ersichtlich, wie die Fälle von geringerer Kanten-, 

 respektive Zyklenzahl aus den gezeichneten durch Verschwinden einzelner Kanten und Auftreten mehr- 

 gliedriger Zyklen hervorgehen. 



Man bemerke nun zunächst, daß auf der Elementarzelle die Bilder von a 3 , a 4 als Symmetriezentren 

 von F w notwendig auf der Begrenzung von II liegen (als Halbierungspunkte der Verbindungslinie zweier 

 Verzweigungspunkte), daß ferner diejenigen Kanten von II, auf denen w 3 , w± liegen, auf den Geraden 

 On> 3 , Ow±, respektive senkrecht stehen müssen, nach der Konstruktion der Elementarzelle und endlich die 

 Punkte tv 3 , w 4 die Kanten, auf welchen sie liegen, halbieren müssen. In jedem Eckpunkt von II müssen 

 nämlich mindestens drei Elementarzellen zusammenstoßen. Würde nun w 3 nicht die hindurchgehende 

 Kante halbieren, so würde die zentrische Symmetrie um w 3 das Eintreten einer Kante in die erste 

 Elementarzelle zur Folge haben, was unmöglich ist. Nennen wir solche Kanten, welche das Bild eines 

 Verzweigungspunktes tragen, V erzweigungskanten,so bildet also jede Verzweigungskante zusammen 

 mit ein gleichschenkliges Dreieck mit der Spitze in und das Symmetriezentrum ist Halbierungs- 

 punkt der Basis. Dies kommt jedoch erst für den zweiten Typus in Betracht, da im ersten Typus die Ver- 

 zweigungskanten sich ins Unendliche erstrecken, sobald man den Kreis um a 2 auf Null zusammenzieht. 



Hiemit ergibt sich die Gestalt der zum ersten Typus gehörigen Elementarzelle ohneweiters als eine 

 von zwei Paaren paralleler Geraden begrenzte Fläche mit dreiblättrigem Verzweigungspunkt in 0, welche 

 im Unendlichen in der in der Figur angegebenen Weise zusammenhängen. Fällt man nun von aus auf 

 die vier Kanten Senkrechte, so zerfällt die Zelle in vier Teile. Diesen Senkrechten entsprechen aber 

 auf F Linien, welche einander nicht schneiden, von a t ausgehend die Punkte a v a i umlaufen und im 

 zweiten Blatt in derselben Weise nach a 1 zurückkehren. Zerschneidet man F längs dieser Linien, so kann 

 man das Bild der so zerschnittenen Fläche einfach dadurch erhalten, daß man die Teile der Elementarzelle 



