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W. Wir tinger, 



III. Die Umkehrung des Periodenverhältnisses für das Integral zweiter 



Gattung. 



Die obigen Resultate erlauben nun die Untersuchung der Abhängigkeit des elliptischen Gebildes 

 von dem Periodenverhältnis des obigen Integrals zweiter Gattung geometrisch bis zur Konstruktion 



sämtlicher Riemann'scher Flächen F w , 



1 Fig. 8. 



welche ein gegebenes Periodenver- 

 hältnis aufweisen, und schließlich bis 

 zur Berechnung des zugehörigen Pe- 

 riodenverhältnisses erster Gattung 

 wirklich durchzuführen. 



Durch die wirkliche Herstellung 

 der Flächen F w erhalten die Ergeb- 

 nisse gegenüber den aus der allge- 

 meinen Theorie der konformen Ab- 

 - bildung durch den Quotienten zweier 

 Zweige der hypergeometrischen Funk- 

 tion, mit denen sie natürlich überein- 

 stimmen, eine nicht unerhebliche Ver- 

 schärfung. 



Bezeichnen wir die Vectoren (1, s), (s, 0) in Fig. 7, respektive mit H v H 2 , so ist zunächst zu 

 bemerken, daßdurch deren Angabe allein ohne die Bedingung geradliniger Begrenzung noch unendlich 

 viele Bereiche konstruiert werden können, welche im allgemeinen zu verschiedenen elliptischen Gebilden 

 gehören und dennoch bei zentrisch symmetrischer Reproduktion um die Halbierungspunkte von H v H 2 

 Riemann'sche Flächen F w und daher zugehörige Integrale zweier Gattung bestimmen. In der obenstehenden 

 Fig. 8 sind für beide Typen die einfachsten Formen, welche nicht Normalbereiche sind, gezeichnet. 



Der in Fig. 7 beschriebene Bereich von w soll künftig als ein Normalbereich U bezeichnet werden? 

 die zugehörigen Perioden von w : H v H 2 , als Normalperioden, neben denen später auch noch die 

 Periode H s ; = — H 1 — H 2 als der Strecke 0, 1 entsprechend in Betracht zu ziehen ist. Demgegenüber soll 

 der Bereich für 5 in Fig. 7 als ein Normalbereich S bezeichnet werden. 



Aus einem Normalbereich U kann man nun durch folgende einfache Operationen neue Gestalten 

 des Fundamentalbereiches auf .F herleiten: man ergänze den Bereich durch Anfügen eines kongruenten, 

 aber um rc verdrehten Bereiches längs einer Seite zu einem Abbild der ganzen Riemann'schen Fläche F 

 und zerlege den ganzen so gewonnenen neuen Bereich in zwei zentrisch-symmetrische Hälften durch 

 Zerschneidung längs einer ganz im Innern verlaufenden, in Bezug auf den Halbierungspunkt der benützten 

 Seite zentrisch symmetrischen Linie, welche die nicht auf der benützten Seite liegenden Ecken verbindet. 

 Bei der durch das Unendliche ziehenden Seite des Bereiches erleidet die Ausdrucksweise, nicht aber die 

 Sache eine geringe Abänderung. 



Es ist ferner klar, daß diese drei Operationen beliebig oft wiederholt und kombiniert werden können. 

 Die folgenden Figuren 9 und 10 geben einen Überblick über die durch diese Operationen, die wir mit 

 T v T 2 , T 3 bezeichnen, bei beiden Typen erhaltenen Gestalten für die Operationen T ± und T 3 . Dabei sind 

 die im zweiten Blatt verlaufenden Linien gestrichelt. 



