100 



W. Wir tili g er , 



Man bestimme alle diejenigen in Bezug auf die Gruppe G zu 5 äquivalenten 

 Werte s>, innerhalb 5. Jedervon diesen bestimmt nach Fig. 7 einen Normalbereich 

 für eine Fläche F, un dz war erhält man so alle solchen Normalbereiche und jeden 

 nur einmal. (Fig. 11.) 



Die Fundamentalbe reiche der Flächen F w , welche genau dem gegebenen Wert 

 von s entsprechen, erhält man hieraus dadurch, daß man entsprechend diejenigen 

 Operationen T u T 3 ausführt, welche rückwärts sx ins überführen. 



Dabei bleibt das Zeichen des imaginären Teiles von 5 immer erhalten, so daß sämtliche Normal- 

 bereiche den zweiten Typus aufweisen, wenn dies einer unter ihnen tut. 



Ist 5 reell, so haben alle äquivalenten Werte reelles Verhältnis und die verschiedenen Normalbereiche 

 bilden eine überall dichte Menge. 



IV. Berechnung des Periodenverhältnisses erster Gattung bei 



gegebenem s. 



Setzt man, um nun zu Formeln überzugehen, das Integral w in der Gestalt an: 



w— JV-V*(1— z)-V 3 (l— c2)-% dz, 

 bezeichnet das zugehörige Integral erster Gattung mit 



Fis. ll. 



u - l%- x h{\—z)- x h{\-c%Y^dz 



und betrachtet gleichzeitig die durch n und w vermittelte kon- 

 forme Abbildung des Bereiches der Werte von z mit positivem 

 imaginären Teil für reelle Werte von c, so findet man durch Ver- 

 gleich des jeweiligen Normalbereiches F w mit dem entsprechen- 

 den Bereich des w für die Intervalle 



oo < c~ l < , < c~ x < 1, 1 < c~ l < oo 



ohne Mühe 

 fli=2i 



dw , 



H 2 = 



- 2 f 



Joo 



während gleichzeitig 

 2K= f du , 



2 iE'. 



dw , 



du , 



H 3 = 2 dw , 



iE' 



K 



ist. 



1 Die Integration ist dabei durch z Werte mit positiv ima- 



ginärem Bestandteil zu führen. Hieraus ergibt sich in bekannter 

 Weise, daß der Quotient 5 das Gebiet der c mit positivem ima- 

 ginären Bestandteil auf den Beeich S abbildet, während gleich- 

 zeitig dasselbe c Gebiet auf den Berreich Tvon x abgebildet wird, 

 der zur Gruppe G in der positiven Halbebene von z gehört. 

 Geht man jetzt zur Weierstraß'schen Bezeichnung in der Weise über, daß man den Verzweigungs- 

 punkt c ins Unendliche verlegt, den Punkten 0, 1, oo der z Ebene, respektive die Indices v, jx, X 

 zuweist, so nimmt w jetzt bis auf einen konstanten Faktor die Form an 



w = j (pu—e{)du 



