Abbildung der Riemann 'sehen Fläche. 101 



und es wird 



r/ + e K cü' 



5 ■=. . 



7] + ex w 



Dann ist aber nach Schwarz- Weierstraß, Formelsammlung p. 44, Formel 14: 



(h = e %h ) 



1 fr£(0) „ . ^fr 2 (t) * 2 1 +3 2 fei-? + 5 2 /r- 3 + . . 



U 2 » 8 (0) Jx 2 l+Äl-2 +Ä2-8 +_.. 



woraus zusammen mit der Legendre'schen Relation ■»] cd'— t]' gö =: — folgt: 



Li 



S = T — 



oder 



1.) 5 = T- 





7TZ 



= T + 



1 



2« 



.(ir] + ß\ö>) 



o^V*) 









^T 



2i 



1 + 7* 1 - 2 



-4- 7z 2 - 3 



H 



TT 1 + 9 7* 1 - 2 + 25 7z 2 - 3 + 



Diese Formel zeigt genügend rasche Konvergenz, wenn der imaginäre Teil von z nicht zu klein ist. 

 Da wir aber noch für kleine z den Ausdruck für s nötig haben, so transformieren wir die ■fr-Reihe 



rechts noch in eine solche fürt' = . Man hat dann 



z 



\(0,z) = J±ü 3 (0,z>) 



dlghJO^) _ _ J_ + dlg^jO.z') 1_ 

 dz 2z dz' z 2 



und nach Einführung von z' in 1. 



i + (i-tO 



dlgh(0,V 



2.) , dZ ' 



(l _^lälg%(0,r) (l _ zl) _ 2 



\ dz' 



oder wegen 



dl ff fr. (0. tT\ 9, 7t * (h .-t-4-k*-4-Q J,9 



'-, <& = *'*) 



dlg»,(0,*) _ 2i»(ft 1+ 4 Ä*+ 9 *g...) 



dr' 1 + 2h x + 2 7zf + . 



schließlich für z' mit sehr großem imaginärem Teil in erster Annäherung 



3.) 5 = (l—nihS). 



2(1-0 



Insbesondere wird für z' = h z7, also für r auf dem Kreise ®, mit dem Mittelpunkt 1 durch den 



2 



Nullpunkt 



Äj ±= iß - "' 



^ x 1 + 2z* .. . 



4.) 5 = (l+jce-^), 



1 +4* 2 



der imaginäre Teil von s also positiv. 



