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W. Wirt lug er, 



Die Formeln 1.) und 2.) gestatten auch ohne zu große Mühe zu jedem Werte 5 innerhalb 5 die 

 Auflösung nach z, indem man je nach dem Werte von s zunächst in 1.) oder 2.) die höheren Potenzen 

 von h, respektive h 1 vernachlässigt und den hieraus zu findenden Näherungswert verbessert. 



Der unterhalb der reellen Achse gelegene Teil von S wird dabei auf einen dem Halbkreis von T 

 anliegenden Flächenteil A abgebildet, welcher, wie 4.) lehrt, in der Nähe des Nullpunktes ganz unterhalb 

 des Kreises ^ liegt. 



Fig- 12. Man findet so für 



1 



~~ 2 

 und da 



1 



' , 2 



;, / a 



+ 0-70483?, 



V 



3 — 0-86602 



so liegt auch z\j, noch innerhalb $? r 



Ebenso findet man, daß dem Werte 



T = -^2 

 ein s mit positiv imaginärem Teil entspricht, nämlich 



5) 



s = — +0-20643 i. 

 2 



Da nun nur die unterhalb der reellen Achse gelegenen 5 Werte 

 eine Abbildung auf das äußere eines Parallelogrammes liefern, so 

 ist diese auch nur bei solchen elliptischen Gebilden möglich, 

 welche wenigstens einen z Wert im Innern von A haben. Da aber in T jedes elliptische Gebilde dreimal 

 vorkommt, so ergeben sich schließlich längs des Randes von T drei Gebiete, A, A', A", deren zugehörige 

 elliptische Gebilde immer auf das Äußere eines Parallelogrammes abgebildet werden können und ein im 

 Innern von T gelegenes Gebiet, für welches dies unmöglich ist. (Siehe Fig. 12.) Innerhalb des Gebietes A t 

 hat der Einheitskreis einen Bogen von ungefähr 19° 18'. 



1 + \/~3 



Man bestätigt in der Tat, daß dem Punkte t 



2 



ein elliptisches Gebilde entspricht, welches 



\/l-x z (1— x) 



v/l-* 3 (1— e 2 x) 



nicht auf das Äußere eines Parallelogrammes abgebildet werden kann, denn die drei Integrale w können 



hier in die Form gesetzt werden 



C dx C tax ,, C e 2 dx 



-, w' — \ — , w" 



Jv/i-^O-w) 



und gehen auseinander durch die Substitution sx, s 2 x für x hervor. Könnte eines auf das Äußere eines 

 Parallelogrammes abgebildet werden, so müßte dies mit jedem der Fall sein. Aber nach 5.) ist dies aus- 

 geschlossen. 



Man kann also endlich sagen : 



Die drei integrale zweiter Gattung eines elliptischen Gebildes von der hier 

 betrachteten Art liefern entweder alle drei Normalbe reiche des zweiten Typus 

 oder höchsten seinen vom ersten Typ us, und zwar das letztere nur dann, wenn das 

 Normal z in e i n e m d e r G e b i e t e A, A', A" 1 i e g t, w e 1 c h e einander in der Modulgruppe 

 äquivalent sind. Insbesondere liefern reelle elliptische Gebilde mit g\ — 27g\ > 

 immer Normalb er eiche des ersten Typus, solche m\t g\ — 27 g\<0 aber niemals. 



