Abbildung der Riemann 'selten Fläche. 



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V. Das hyperelliptische Integral erster Gattung; Konstruktion der 



Elementarzelle. 



Wir wenden uns nun zur Untersuchung des hyperelliptischen Integrals erster Gattung, schreiben das- 

 selbe in der Form : 



C ix—a) dx 



u ■=. 



VC* - Ä l) ( X ~ a 2) ( X ~ a 3) ( X ~ a i) (*.— * 6 ) ( X ~ a 6) 



und bezeichnen wieder die Riemann'sche Fläche der Variablen u mit F H , diejenige der Variablen x mit F 

 Dem Punkt a in einem Blatt von F entspricht dann ein Punkt A in F„ und unendlich viele andere, ent- 

 sprechend der analytischen Fortsetzung von«, welche wir, wenn nötig, durch obere Indices unterscheiden. 

 Diese sind sämtlich Verzweigungspunkte erster Ordnung von F H . Ferner entsprechen den Punkten <z x , a 2 ,a 3 , 

 a 4 , a h , a 6 gewöhnliche Punkte von F n , welche jedoch sämtlich Symmetriezentren von F u sind. Wir 

 bezeichnen diese Punkte durch A v A 2 , A 3 , A±, A b , A e und ihre äquivalenten und symmetrischen ebenfalls 

 durch Hinzufügen eines oberen Index. Wir haben dann entsprechend den beiden Punkten a im ersten und 

 zweiten Blatt zwei zueinander zentrisch symmetrische Elementarzellen. Der Euler'sche Satz liefert 



Fig. 13, I. 



Fig. 13, IL 



daher e — k— — 4 und da wieder 3<?5^2&, so folgt e :fS 8, k 5S 12. Da sich die Zyklen auf beide Blätter 

 in genau gleicher Weise verteilen müssen, so liegen in jedem Blatt von F vier Zyklen. Die Fälle mit 

 weniger als vier, dann aber mehrgliedrigen Zyklen erledigen sich als Spezialfälle. Ferner sind von den 

 Kanten notwendig sechs Verzweigungskanten, welche beide Blätter von F verbinden und deren 

 Anfangs- und Endpunkte daher in sich deckende Punkte beider Blätter fallen. Somit bleiben außer den 

 Verzweigungskanten noch sechs Kanten übrig, welche sich auf beide Blätter von F in genau gleicher 

 Weise verteilen, so daß also auf das einzelne Blatt drei solcher Kanten entfallen, welche wir akzessorische 

 Kanten nennen wollen. 



Jeder Zyklus muß mindestens eine akzessorische Kante enthalten, da sonst der einzelne Zyklus 

 ohne Verbindung mit den andern wäre und es muß jede akzessorische Kante in zwei und nicht 

 mehr Zyklen vorkommen. Zyklen mit weniger als drei Gliedern können aber deshalb nicht vorkommen, 

 weil die Winkel der Elementarzelle sämtlich kleiner als % sind. Damit findet man leicht, daß man nur zwei 

 Fälle in Bezug auf die Zyklen zu unterscheiden hat, je nachdem die akzessorischen Kanten einen Zyklus 



