Abbildung der Riemann 'sehen Fläche. 



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stehende Figur 24 gibt ein Beispiel eines solchen Sechseckes und es ist sofort ersichtlich, daß der dort 

 ausgeführte Prozeß beliebig oft wiederholt werden kann. 



Es werde nun die zyklische Ver- Fig. 25. 



tauschung der Seiten S, bei welcher Sj 

 an die Stelle von S 2 tritt, mit U bezeich- 

 net und dasselbe Zeichen als U (cd) auch 

 für die hiedurch bewirkte Transforma- 

 tion der Perioden to verwendet. 



Es wird dann, wenn die trans- 

 formierten Perioden mit to' bezeichnet 

 werden. 



oder auch 



U(& = 











1 



















1 



1 











-1 







-1 



-1 







(CO) 



und es ist klar, daß U G = 1 ist. 



Als zweite Operation V werde diejenige bezeichnet, welche aus dem Anfügen eines zentrisch 

 symmetrischen Sechseckes längs der Seite S 2 und neuerlicher Zerschneidung der Gesamtfigur längs der 

 Linie @ 2 besteht (Fig. 25). 



Es wird dann, wenn die Seiten der neuen Figur mit ® bezeichnet werden, 



®i 



S 2 , @ 2 = S 1 + 2S 2 , @ 3 = S 3 , @ 4 =:S 4 , @ 5 = 5 5 , © 



und die zugehörige Substitution der Perioden : 



v<*y = 



1 















1 







1 







1 











1 



Nun findet man zunächst ohne Schwierigkeit, daß (UV)'° die Seiten S der Reihe nach überführt in 

 S 1 + 2S 2 , S 2 ~2S 2 , S 3 + 2S 2 , S 4 --2S 2 , S 5 + 2 S 2 , S G -2S 2 , 

 während die Perioden ungeändert bleiben, so daß 



(uvy°= i. 



Dies ist aber gerade die Abänderung, welche das Sechseck erfährt, wenn der Punkt a einen Umlauf 

 um den Verzweigungspunkt, welcher dem auf der Seite 5 2 gelegenen Symmetriezentrum entspricht, 

 macht. Man hat dabei nur auch die Vorzeichenänderungen, welche die Integrale erfahren, gehörig zu 

 beachten. (Die Bezeichnung der Verzweigungspunkte ist hier verschieden von der vorher gewählten, im 

 Anschluß an die Bezeichnung der Sechseckseiten.) 



Da man nun durch die zyklische Vertauschung jede Seite an die Stelle von 5 2 bringen kann, so 

 kann man auf diese Weise jede Umlaufung eines Verzweigungspunktes ausführen, und zwar ohne die 

 Perioden zu ändern. Man hat also nur mehr nachzusehen, ob man auch alle linearen Transformationen 

 der Perioden auf diese Weise erhält. Dies ist aber in der Tat der Fall, denn man kann die beiden von 



