12. 



Sur un théorěme fondamental dans la théorie des 

 équations différentielles. 



Par M. Lerch. 



(Lu dans la seance du 8 février 1889) 

 Présenté par M. Ed. Weyr. 



L'existence des intégrales des systémes ďéquations différentielles 

 a été démontrée par Caudiy et plus tard par Briot et Bouquet*). 

 Ces auteurs ont aussi démontré Fimpossibilité des solutions non holo- 

 morphes vérifiantes les équations au voisinage ďun point ordinaire; 

 mais la méthode employée par les grands géométres semble de faire 

 trop ďhypothéses sur la nature des intégrales, et la méme objection 

 peut se faire relativement á la démonstration trěs elegante et féconde 

 que M. Camille Jordán vient de donner dans son Cours ď Analyse, 

 III p. 94. 



En vue de Timportance du sujet une nouvelle démonstration ne 

 sera pas inutile; je vais la développer en remplagant le théorěme 

 par une proposition beaucoup plus generále. 



Kappelons-nous á cet effet le théorěme de Cauchy, souš la formě 

 que lui a donnée M, Jordán á la page 88 — 94 de son Cours, en le 

 préparant pour Fapplication qui va souivre. 



Considérons le systěme de deux équations différentielles 



(1) ;ť!=/(^' y^ ^)' -L — fi"^^ y^ 2)' 



dx -^^ ^ ' ^' ^' dx 



en admettant que (a?o, y^^ Zq) soit un point ordinaire pour les fonc- 

 tions / (aj, ?/, z) et (p (cc, ?/, z) des variables indépendantes £c, ?/, z. 

 On pourra tracer dans les plans des a?, des y et des 2 autour des 

 points Xq, y^^, Zq des contours fermés -ŽT, Z', K" tels que les fonc- 



Journal de V Ecole Polytechnique, Cah. 36, 



