M. Lerch: La théorie des équations différentielles. 181 



tions f et (p restent holomorphes tant que íc, ?/, z ne sortent pas de 

 ces contours. 



Tragons ensuite autour des points íCq, y^^ Zq des cercles (cco), 

 (3/0)1 (^0) placés touš entiers á Tintérieur des contours K^ K\ K' et 

 choisissons une constante positive r de telle maniěre que la plus 

 courte distance des points du contour K aux points du cercle («o) 

 ainsi que la plus courte distance des points de K'^ K" aux points de 

 (yo)? (2^0) soit plus grande que r. 



Soient ensuite a^j, 3/,, % des quantités affixes des points situés 

 á ťintérieur des cercles respectifs {x^^ (t/j,), (z^). Alors le systéme 

 ďéquations différentielles (1) admettra un seul systéme ďintégrales, 

 holomorphes au point a?j, qui se réduisent aux valeurs y^^ Zy lorsque 

 « s'approche de cc^, de sortě qu'elles seront données par les dévolop- 

 pements 



00 00 



qui restent convergents á Ťintérieur du cercle dont Féquation est 



\ X — íCj I = r (1 — e ^^ , 



oů N représente une constante positive dont la valeur ne dépend 

 que des fonctions /, q) et des contours Z, K\ K'\ et qui donc ne 

 change pas quand x^^ ^j, Zy varient ďune maniére quelconque en 

 restant toujours á Ťintérieur des cercles {x^)^ {y^}^ {zq). 



Supposons maintenant que les équations (1) admettent un systéme 

 ďintégrales y z::z (p (íc), z zzz tj; (x) qui ne soient pas toutes deux holo- 

 morphes au point Xq mais qui le sont aux points sc^, qu^on rencontre 

 a chaque voisinage du point Xq. Alors il y aura un cercle [q) tracé 

 autour du point Xq tel que jamais les valeurs y^ zi:qp(íCj), Zj =zi/'(íc, ) 

 correspondantes aux points x^ a Vintérieur de (q) ne seront contenues 

 toutes deux á Vintérieur des cercles respectifs (y^), (Zq). 



Prenons en effet pour le rayon du cercle ((») la quantité 



Q^r(l—e 3^), 



qui reste en méme temps moindre que le rayon du cercle (Xq\ et 

 supposons que le théoréme était en défaut, de maniěre que les íonc- 



