o hlavních vlastnostech integrálů Eulerových. 189 



je - * x^^-Hx = — e-^íc*-^ -j- (a — 1) / e-^x^^-Hx 

 výsledek 



OD QO 



/ e-^x^^-^dx zz (a — 1) / e^^^x^^—^dx, 



t. j. r(a)=:(a — 1) r(a — 1), aneb zaměníme-li a za «+!) 



(2) r(a-{-l)=:ar(a). 



Z této vlastnosti plyne postupným jí užíváním 



r(a + w) = (a + w — 1) (a + w — 2) . . . ar(a). 

 Pro azí: 1 máme pak 



r(l) = íe-^dx — 1, 



o 



a tedy 



r(n -\- 1) — n{n — 1) . . . 3 . 2 . 1 = w ! , 



takže se nám integrál r(a) jeví jakožto interpolační úkon arithme- 

 tické funkce (fakulty, faktorielly) {a — 1)! 



Aby se funkční povaha integrálu r(a) prozkoumala, je pobodlno 

 zavésti s Prymem*) funkce 



(3) P{a)— Ce-^x^^-Hx, Q{a)z=: ie-^^x^-^dx, 



o co 



kde (ú značí libovolnou veličinu kladnou, na př. co = 1. Pak bude 



r{a) = P{a) -f Q{a). 



Integrál P(gj) lze rozvinouti v řadu následujícím způsobem. 

 Násobme rovnici 



00 v 



v— o 



po obou stranách x'^—'^dx a integrujme v mezích o a o; i obdržíme 



*) Journal fiir die reine und angewandte Mathematik, Bd. 82. Téhož rozkladu 

 užil již dříve de Oasparis (Akademie Neapolská, 1867.) 



