o hlavních vlastnostech integrálů Eulerových. 191 



Tím povaha funkce P{a) dostatečně objasněna. Zbývá ještě vy- 

 šetřiti funkční povahu integrálu 



00 



dx. 



Především je patrno, že integrál tento existuje pro všecka konečná 

 a. Dokážeme, že jej lze vyjádřiti řadou mocninovou stále konvergentní 



co 



A sice budou koefficienty této řady dány vzorcem 



OD 



An~ — j e-^ilog x)"dx. 



09 



Věc by byla jasná, kdyby bylo známo, že Q(a) jest funkce ana- 

 lytická. Kdybychom chtěli předpokládati znalost věty Cauchyovy 

 o integrálech v mezích komplexních, t. j. znalost Cauchy-Rieman- 

 novy nauky o funkcích, stačilo by dokázati, že existuje derivace 



Um ^^^ + ^l - Q^^^ =: Je-^x<^- log x dx. 



(O 



Jiný důkaz obdržel by se vyšetřováním zbytku Taylorovského 

 rozvoje, spočívajícího na větě, již objevil p. Darboux a různými 

 způsoby dokázal p. Mansion. 



My však odůvodníme hořejší tvrzení způsobem následujícím. Bud 

 N libovolná veličina větší než o, a proveďme rozklad 



/ g—a^fls— 1 ^x :=. I e—''x"'—^ dx -\- I e~'*x'^ 



00 00 



Pak máme patrně pomocí vzorce 



dx. 



N 



/x" ^dx-=.— postrádá smyslu, je-li ave své reálné části záporným, kdežto 



1 



funkce — existuje pro všecka a. 



