o hlavních vlastnostech integrálů Eulerových. 209 



Rozvinemeli log (1 — x) dle mocností «, obdržíme řadu 



00 



log(l— a;)=— 2j^, 



která konverguje toliko pro x<cl, kdežto pro íc=:1 diverguje. Nic- 

 méně bude řada 



— 7 ^— / a;^ + ^^ - 1 (1 — xf-^ dx 

 v=l o 



konvergentní a bude se rovnati veličině ■ tt-^ ■ 



do 



Abychom to dokázali, uvažme, že platí pro íc ^ 1 nerovnost 



n 



/— íc" <^ — log (1 — x), 

 v=l 



takže obdržíme při kladných reálných a, b : 



n 1 1 



y^— Jx'' + ^ - 1 (1 — íc)*-i cřřc < — Jx^\l — xf-^ log ( \—x) dx. 



v—l o O 



Řada v levo sestává ze samých kladných členů a je menší než 

 pravá strana, jež nezávisí na n\ obdržíme tudíž v levo řadu konver- 

 gentní, položíme-li n = Go, a sice bude 



GO 1 1 



VJ J_ Jx'' + ^ - 1 (1 — xf-^ dx^ — J sc«-i (1— xf-^ log {l—x) dx. 

 v—l o o 



Pro každý kladný pravý zlomek s platí pak 



l—B l—s 



00 _. 



— J ÍB»-1 (1 — Xf-^ log {\—x)dx = y] f^" + " ~ ^ ( I — Xf--^ dx 

 O v—l O 



^ 1 



"2j"7 f'^'' + ^ ~ 1 (1 — xy-^ dx 



v—l o 

 Tí.: Mathematicko-přirodorědecká. 14 



