Osculationsebenen der Krůmmunglinien der Fláchen zweiter Ordnung 353 



des Axencomplexes auf der in 2. beschriebenen Kegelfláche liegen 

 und bestimmen ihre Beruhrungsebene lángs der Geraden N. Daraus 

 folgt: 



Die Berůhrungsebenen des in 2. angefiilirten Com- 

 plexkegels vom Mittelpunkte a langs der drei Tangen- 

 ten iV, N' und iV" sind Osculationsebenen der Kriim- 

 mungscurven E, resp. K' und K". 



Weil man fiiuf jenen Complexkegel bestimmende Strahlen immer 

 ermitteln kann, so konnen aueh die Osculationsebenen von K^ K' und 

 Z" im Punkte a auf Grund des eben ausgesprochenen Satzes con- 

 struiert werden. Im Falle, dass man die Hauptebenen von F^ kennt, 

 taugen zur Bestimmung jenes Complexkegels am besten die vier in 

 2. angefiilirten projicierenden Geraden und die Normále N von F^. 

 \ 4. Der Satz, welcben wir in 3. bewiesen haben, kann auch aus 



der Eigenschaft abgeleitet werden, dass je zwei Complexstrahlen, 

 also auch je zwei Tangenten der Kriimmungslinien von F^^ mit allen 

 Hauptpunkten des Axencomplexes durch eine aus lauter Complex- 

 strahlen bestehende Regelschaar 2. Ordn. verbunden werden konnen. 

 Benútzt man diesen Satz auf zwei aufeinander folgende Tangenten 

 einer Kriimmungslinie, so geht jene Regelschaar in eine Kegelfláche 

 2. Ordn. uber und man bekommt den in 3. bewiesenen Satz. 



5. Die Osculationsebene ď der Curve K' im Punkte a ist durch 

 die Tangente N"" und ihre benachbarte Tangente bestimmt. Diese 

 Tangenten haben zu ihren reciproken Polaren beziiglich der Flache 

 F"^ die Normále N der Flache Fo_ im Punkte a und die Normále 

 derselben Flache in dem zu a benachbarten Punkte von K'. Diese 

 zwei benachbarten Normalen schneiden sich in einem auf N liegenden 

 Hauptkriimmungsmittelpunkte s'^ von F^ fiir den Punkt a. Der Punkt 

 s\ ist folglich Pol der Osculationsebene ď beziiglich der Flache F\. 

 Aus áhnlichen Griinden hat dieselbe Ebene zu ihrem Pole beziiglich 

 der Flache F^ den zu der Kriimmungslinie K' gehorigen Hauptkriim- 

 mungsmittelpunkt s' der Flache F^" im Punkte a. In Folge dessen 

 ist die Gerade s' s\ zur Ebene a' beziiglich beider Fláchen F^ und 

 F^" conjugiert und weil diese Fláchen confocale Fláchen sind, so ist 

 sie zu jener Ebene normál. Nun ist aber, wie bekannt, der Punkt . 

 s'2 i'esp. s' Pol der Ebene N' N" resp. N' N in Bezug auf die Flache 

 F^', *) so dass die Gerade s' s\ reciproké Polare der Geraden N' be- 



*) Den synth. Beweis dieser Eigenschaft hábe ich in meiner frúher citierten 

 Abh. geliefert (S. 25). 



Tř. mathematlcko-přírodověJecká. -^ 



