Osculationsebenen der Krůmmungslinien derFlachen zweiter Ordnung. 355 



Denken wir uns einen Bíischel von Ebenen, welche durch die 

 Normále N der Fláclie F^ im Punkte h gehen. Die Pole dieser Ebenen 

 liegen auf einer zur Ebene n normalen Geraden, welche in der Be- 

 rúhrungsebene t der Flache F^ im Punkte h enthalten ist. Die aus 

 diesen Polen auf die entsprechenden Ebenen des Biischels N ge- 

 fállten Senkrechten gehoren dem Axencomplexe an und bilden einen 

 Btischel erster Ordnung, dessen Scheitel e in der Geraden t tc, d. 

 h. in der Tangente des Hauptschnittes H im Punkte ^, liegt. Die 

 reciproken Polaren dieser Axen beziigiich F^ sind wieder Complex- 

 strahlen und bilden einen Buschel 1. Ordn., welcher in der Polar- 

 ebene des Punktes e liegt und den Punkt k zu seinem Scheitel hat. 

 Diese Polarebene ist die verlangte stationáre Ebene e. 



Es ist klar, dass man diese Ebene auch auf Grund des 5. Abs. 

 ermitteln konnte. An Stelle der Flache F'^ tritt in diesem Falle der 

 in der Ebene st liegende Focalkegelschnitt. 



Wir fiigen noch hinzu, dass diese stationáre Ebene zugleich 

 Berúhrungsebene der zur Ebene n normalen Cylinderflache 2. Ordn. 

 ist, welche durch jene Kriimmungslinie gelegt werden kann. 



8. Der Satz des 6. Absatzes zerfállt in dem zuletzt betrachteten 

 Falle in zwei Sátze, wovon der erste lautet: 



Die Tangente N\ und die Normále N des Haupt- 

 schnittes H in einem Punkte h und seine beiden Axen 

 sind Tangenten einer Parabel, welche die Normále 

 iVineinem Hauptkriimmungsmittelpunkte dergegeben 

 Flache im Punkte h beriihrt. 



Man erkennt darin leicht den bekannten Steiner'schen Satz. Fiir 

 die Ebene N N" bekommt man anstatt einer Parabel zwei Buschel 

 1. Ordn., welche von allen in dieser Ebene liegenden Complexstrahlen 

 gebildet sind. Einer von diesen Biischeln hat seinen Mittelpunkt in 

 dem unendlich entfernten Punkte der zur Ebene n senkrechten 

 Hauptaxe, der zweite hat zum Mittelpunkte den gesuchten zweiten 

 Hauptkriimmungsmittelpunkt in der Normále N. Man kann diesen 

 Punkt als Pol der Ebene s (7) in Bezug auf die Flache F^ constru- 

 ieren. Weil aber der Punkt e Pol der Ebene s beziigiich F^ ist, so 

 muss der verlangte Hauptkriimmungsmittelpunkt in der aus dem 

 Punkte e auf die Ebene s gefállten Senkrechten liegen. 



Wir bemerken noch, dass man denselben Punkt auch auf Grund 

 des Satzes, den wir schon im Abs. 5. beniitzt haben, als Pol der 

 Ebene n {N N") in Bezug anf den in der Ebene n liegenden Fo- 

 calkegelschnitt construieren konnte. 



23* 



