o plochách normál ku plochám posouvání stupně čtvrtého. 403 



i 



jichž existenci při ploše mimosměrek rodu nulla (a takovou jest, jak 

 bude ukázáno, plocha naše) dokázal Voss. ^) 



Obdobnou úvahu lze učiniti vzhledem k rovině smíru. Křivka 

 Ě má v této rovině oba své body smíru r^ u^. Každému z nich 

 přísluší v křivce tf^ jeden bod, prvému bod k^, druhému C- 



Přímky N,.^ Nu^, určené body r^ K, u^ Z«>, jsou tedy po- 

 vrškami plochy normál a ovšem v rovině smíru obsaženy. Jest tedy 

 rovina smíru bitangentialnou rovinou plochy normál. Prohlédáme-li 

 ještě k tomu, že í/oo, jsouc geometrickým místem proniků dvou stejno- 

 směrných normál, jest křivkou dvojnou, poznáváme, že plocha normál 

 má v nekonečnu dvojnou křivku stupně 2. a dvě přímky, stejnosměrné 

 s asymptotami řídící křivky Ě stupně 2. Suďme dále: V rovině Ě 

 má plocha mimo křivku Ě ještě 4 přímky. Každá z nich proniká 

 křivku tu ve 2 bodech, což činí 8 proniků. Čtyři přímky mají celkem 



(í) 



6 průsečíků. Jest tu tedy 14 bodů průsečných. 



Odpočítáme-li v každé přímce jeden ze dvou, v nichž křivku E 

 proniká, onen totiž, v němž jest normálou plochy posouvání, zbývá 

 10 bodů. 



Těchto 10 bodů náleží dvojné křivce plochy normál, jsou to 

 body, v nichž křivka tato rovinu křivky řídící proniká. 



Dvojná křivka plochy normál jest tedy stupně desátého. Z pře- 

 dešlého jest zjevno, že z 10 těch bodů 2 jsou body smíru. Jsou to 

 body Pa^g*^, dvojné křivce smíru Ú^ náležející. Skládá se tedy dvojná 

 křivka stupně desátého z dvojné křivky V^ stupně druhého v neko- 

 nečnu a z dvojné křivky stupně osmého V v konečnu. 



Libovolný rovinný pronik plochy normál jest křivka stupně 6. 

 o 10 bodech dvojných. Jest to tedy křivka racionálna, tudíž rodu 

 nulla, to platí pak i o ploše normál. Plocha normál jest rodu nulla. 



Poněvadž rovinný pronik uvažované plochy normál, jakožto 

 plochy mimosměrek, obecně nemá bodů vratu, platí o něm, zave- 

 deme-li obvyklé označení 



ft = 6, d — 10, n — O, 

 z čehož vychází v ==: 10, r z=: 24, t = 12, 



čímž charaktery proniku toho jsou vyčerpány. 



^) Sr. Zur Theorie der windschiefen Fláchen. Mathem. Annalen, Bd. 8. Že 

 nemůže žádná další rovina 4 površek plochy obsahovati, jde z tohoto: Ta- 

 ková rovina pronikala by plochu ještě v jednoduché křivce 2. stupně, avšak 

 plocha nemůže mimo Ě míti žádnou jinou jednoduchou křivku 2 st., ne- 

 má-li degenerovati. Sr. Schwarz: Uber die geradlinigen Fláchen 5. Grades. 

 Crelle's Journ. Bd. 67. 26* 



