o plochách normál ku plochám posouvání stupně čtvrtého. 405 



se, zdali teiito_bod může s bodem a splynouti. To možno jen tehdy, 

 když průměr Pa^ spolu je asymptotou křivky řídící Ě stupně druhého, 

 tudíž dvakráte. Poněvadž i pak příslušné dvě površky pronikají se 

 v křivce smíru Ú^, je patrno, že tedy z 8 pinchpointů v křivce dvojné 

 obsažených, dva připadají do dvojné kř. smíru Ú^. Poněvadž sou- 

 mezné 2 površky jsou tu stejnosměrný, jsou tyto dvě přímky singu- 

 lárně hranami (arétes) plochy a též je patrno, že jsou obě v rovině 

 smíru. Známé nám tedy dvě přímky smíru Nr^ Nu^ plochy naší 

 jsou jejími hranami. 



Nebude snad od místa podotknouti, že ale rovina smíru není 

 tečnou rovinou podél těch hran. Tečná rovina podél té které hrany 

 proniká rovinu kř. řídící Ě vždy v jedné její asymptotě (s níž jest 

 stejnosměrná). 



Abychom o rozloze zbývajících 6 přímek singularných se po- 

 učili, tažme se, kterak možno singulárně přímky dané plochy kon- 

 struktivně určiti. Mějme na mysli křivky stupně druhého Ě Ú^ & libo- 

 volnou površku P plochy normál; jež prvou křivku v bodě w, druhou 

 v bodě m^ proniká. Má-li P býti singularnou přímkou plodiy, musí 

 tečny T^^ a T^^^ býti spolu stejnosměrný. 



Vyšetříme-li tedy, kolik v křivkách Ě a Ů^ je párů tečen k sobě 

 příslušných stejnosměrných, a které to jsou, budou přímky singulárně 

 i pokud počtu jejich i pokud polohy se týče, stanoveny. 



Buďtež o a o' středy křivek stupně druhého Ě a U^. Z odst. 

 8. jest zjevno, že snov (svazek) o průměrů křivky E jest promětný 

 se snovém v^ tětiv křivky t/^, určených body jejími, jež koncům 

 oněch průměrů jsou přidruženy. Snov o' průměrů křivky V^ jest 

 však v souvislosti (1 — 2) značné se snovém v^^), tudíž též v sou- 

 vislosti (1 — 2) značné se snovém o. Jest však snov o' prpmětný se 

 snovém příslušným tečen ku i7^, a snov o promětný se snovém pří- 

 slušných tečen ku Ě^ tudíž: Snov tečen ku Ú^ jest v souvislosti 

 (1 — 2) značné se snovém tečen ku Ě. První z těchto snovů jest 

 jednoznačný, druhý jest dvojznačný. Myslíme-li si místo nich dva 

 s nimi shodné a stejnolehlé snový soustředné, budou přímky (paprsky) 

 samodružné těchto dvou snovů řešiti naši úlohu. Každý z nich určo- 

 vati bude totiž směr žádané dvojice tečen stejnosměrných. Samo- 

 družné ty přímky budou nutně 3 ; k nim příslušné 3 tečny křivky Ú^ 

 budou se jí dotýkati v určitých 3 bodech, poněvadž však každému 

 bodu křivky Ú^ náležejí dva diametrálně protilehlé body křivky ŽJ, 



^) Sr. Em. Weyr: Beitrage zur Curvenlehre, pag. 49. 



