o plochách normál ku plochám posouvám stupně čtvrtého. 407 



Poněvadž zde nebylo Tr^ 1 1 ^^„o 5 nemohly obě hrany smíru ^), ač 

 ku přímkám singularným náležejí, naší první úvahou se obdržeti. Že 

 rovina singularná každé z nich příslušná středem křivky Ě prochází, 

 již v odst. tomto bylo podotčeno. 



Můžeme nyní, prohlédáme-li spolu k odst. 9., dodati : 

 Rovina smíru, bitangentialná to rovina plochy normál, dotýká 

 se jí ve 2 bodech, z nichž každý jest v jedné z hran a spolu ve dvojné 

 křivce Ů^. Jsou to zmíněné kuspidalné body k^ l^ plochy normál, 

 pinchpointy křivky dvojné. Snadně je v Ů^ najdeme, uvážíce, že jsou 

 to body, přidružené bodům smíru řídící křivky Ě. V těchto bodech 

 končí podstatné části dvojné křivky smíru Ú^. 



11. Ohledejme nyní blíže dvojnou křivku plochy normál. Tažme 

 se nejprve, kterak jsou rozloženy body její v rovině řídící křivky Ě. 

 Pronik plochy normál s rovinou této křivky skládá se, jak víme, 

 z křivky Ě b, ze á površek plochy normál : Nd 1 1 Nď, Ne 1 1 Nď ; ony 

 jsou v diametrálně protilehlých bodech d ď e e^ normálami plochy 

 posouvání a ovšem též normálami křivky Ě. (Viz obr. 8.) Každá pro- 

 niká křivku Ě ještě v jednom bodě, resp. v diametrálně protilehlých 

 bodech f f g g'- Tyto 4 body náležejí křivce dvojné ; ona v nich 

 řídící křivku E proniká. 



Mimo to každá z oněch površek proniká ještě ostatní 3 ; vznikne 

 tak dalších 6 bodů, dvojné křivce náležejících. Jsou to body dia- 

 metrálně protilehlé t ť x x' v konečnu a body smíru p^ q^^. Ony 

 4 body jsou rohy kosodélníka, jehož středem jest střed o řídící křivky 

 M. Body p^ g„ náležejí křivce Ú^ stupně 2., jež jest nekonečně vzdá- 

 lenou částí křivky dvojné. Body f f g g' t ť x x' náležejí tedy 

 dvojné křivce V v nekonečnu obsažené, jež jest 8. stupně. 



Z centrické souměrnosti plochy normál poznává se,' že i tato 

 křivka jest centricky souměrná, střed o plochy normál majíc za střed 

 souměrnosti. Z předešlého také jest zjevno, že dvojná ta křivka 

 bodem o neprochází. 



Co se týče souvislosti křivky dvojné s površkami plochy normál, 

 již jsme pověděli, že v 8 případech 2 površky, bod dvojné křivky 

 průsekem svým tvořící, jsou soumezny. Vznikne takto 8 pinchpointů 

 křivky dvojné. Z odst. 10. vychází, že z bodů těch 2 připadají na 

 dvojnou křivku t/^, ostatních 6 tudíž na dvojnou křivku F. Víme též, 

 že posléze jmenované body jsou v konečnu. 



') Hrany úběžné. 



