408 -^^*- Sucharda 



Prohledejme nyní k bodům, jež má křivka dvojná v rovině smíru. 

 Rovinu tu pronikáplocha normál ve dvojné křivce Ú^ stupně 2. 

 a v přímkách Ň^^ Ň^^, o nichž jsme dokázali, že jsou hranami plochy. 

 Tyto přímky pronikají křivku Ů^ každá ještě v jednom bodě, re^p. 

 v bodech ?/„ z„. (Viz obr. 10.) Každým bodem dvojné křivky Ů^ 

 procházejí 2 površky plochy normál, jež s řídící křivkou Ě ve 2 dia- 

 metrálně protilehlých bodech se. pronikají. Výminka činí body y^ z^ ; 

 každým z nich procházejí nejen 2 tyto příslušné _površky plochy 

 normál, nýbrž ještě jedna z obou přímek smíru iV^„, iV„^, tudíž 

 přímky 3. Z toho vychází : Body y^ z^ jsou trojnásobnými body smíru 

 plochy normál. Poněvadž body těmi plocha třikráte prochází, sou- 

 díme, že též 3 větve dvojné křivky v nich se pronikají, a že tudíž 

 body ty jsou trojnásobnými body křivky dvojné. Vzhledem k tomu, 

 že tato rozpadá se ve dvě křivky stupňů nižších U^ F, soudíme, že 

 dvojná křivka V každým z těchto bodů smíru dvakrát prochází, majíc 

 v něm bod dvojnásobný. V těchto bodech tedy dvojná křivka V stupně 

 8. rovinu smíru čtyřikráte proniká. Pátým průsečíkem jest bod s^, 

 v němž přímky smíru spolu se pronikají. I zbývá tedy nalézti ještě 

 3 body ostatní, v nichž křivka proniká rovinu smíru. Především jest 

 patrno, že body ty musí býti v křivce Ů^ ; neníť mimo tuto křivku 

 a bod s^ v rovině smíru místa, v němž by mohl býti násobný bod 

 plochy vůbec, anyf površky smíru jsou přímkami jednoduchými. Na- 

 zvěme hledané body a^ '^^o ^^' V každém z nich křivka dvojná Ů^ 

 s dvojnou křivkou f se proniká. Protínají-li se dvě plochy vzájemně, 

 jest průseČná křivka dvojnou křivkou, a dvojný bod nastane v ní 

 tam, kde obě plochy vzájemně se dotýkají. V našem případě zastou- 

 peny jsou obě plochy dvěma plášti téže plochy normál, jež pronikem 

 svým dvojné křivky Ů^ V určují. Soudíme-li podle analogie, mohou 

 hledané body dvojné vzniknouti jen tehdy, budou-li se oba pláště ve 

 dvojné křivce smíru na některých místech vzájemně dotýkati. V ta- 

 kovém bodě měla by plocha arci na místě 2 různých rovin tečných 

 pouze jedinou, splynutím obou vzniklou. 



Této okolnosti užijeme ku vyhledání bodů žádaných. 



Mějme na mysli jeden z nich, bod a^. Splynutí obou rovin 

 tečných, tomuto bodu dvojné křivky Ú^ příslušných, nemůže vzniknouti 

 následkem různosměrnosti 2 soumezných površek, neboť případ pinch- 

 pointů dvojné křivky jest tu vyloučen. Mohou tedy ty 2 roviny sply- 

 nouti jen tím, že rovina tečná, příslušná jedné z povi'šek bodu a^ 

 náležejících, obsahuje zároveň příslušnou k němu površku druhou. 

 Jest patrno, že potom tečna Ta^ v bodě a^ ku křivce smíru Ú^ 



