o plochách normál ku plochám posouvám stupně čtvrtého. 419 



. Povšimněme si dále tohoto: Tečna v bodu smíru r^ křivky 



j Ě prochází její středem o, i jest zároveň průměrem této křivky. 

 Mysleme si průměr jemu soumezný. Týž proniká Ě ve dvou bodech 

 bodu u^ soumezných a to tak, že jeden z nich V^ po jedné, druhý 

 V^ po druhé straně bodu u^ jest umístěn. Body V^ *r'^ patrně 

 jsou ale konce průměru křivky Ě^ tudíž body diametrálně protilehlé. 

 Takovými body však procházející tečny křivky P jsou spolu stejno- 

 směrný, čili pronikají přímku smíru v témže bodě ^^ . Bodem tím 

 procházejí tudíž přímka smíru a dvě s ní soumezné přímky, jedna po 

 jedné, druhá po druhé její straně, vesměs to tečny křivky P, z čehož 

 vychází, že bod ^„ jest bodem vratu křivky P, přímka smíru pak jeho 

 tečnou vratu. Zcela obdobného výsledku dospějeme, prohlédajíce ku 

 druhému bodu smíru křivky Ě. Obdržíme tak bod vratu j^ , jemuž 

 přímka smíru rovněž jest tečnou. Suďme dále: 



Libovolný bod h^ přímky smíi-u je společným bodem smíru dvou 

 tečen Ta^ T^^ křivky smíru. Proto jím procházejí čtyři v konečnu 

 ležící tečny křivky P, z nichž dvě, odpovídající bodu a„, procházejí 

 diametrálně si protilehlými body a a\ druhé dvě, odpovídající bodu 

 6^, procházejí diametrálně protilehlými body h h'. Jest tedy bodu a^ 

 přidružen průměr aa\ bodu 6^ průměr hh'. Prohledejme ktomu, co 

 nastane, splyne-ii bod h^ s křivkou smíru, t. j. sjednotí-li se s bodem 

 p^, jejž křivka ta má v rovině řídící křivky Ě. Potom splynou též 

 tečny T^^ a Ti^ ; body a„ a 6„ stanou se soumeznými, splynouce 

 s bodem p^ ; totéž stane se však i s přidruženými průměry aď bb'. 

 Bude tu bod a soumezný s bodem a\ bod 6 soumezný s bodem 6'. 

 Čtyři tečny křivky P z bodu p^ vycházející seřadí se ve dvě dvojice 

 tečen soumezných, jež ovšem v bodě p^ nepřestanou se pronikati. 

 Každá dvojice určuje takto jeden bod křivky P, s bodem p„ splý- 

 vající, z čehož vychází: Bod p^ jest dvojným bodem křivky P. Ob- 

 dobné nastane i pro bod q^, jejž má ještě křivka smíru v rovině 

 křivky řídící. Tedy: 



Body p^ q^, v nichž křivka smíru Ů^ stupně druhého proniká 

 přímku smíru B^ roviny řídící křivky Ě, jsou dvojnými body křivky P. 



Křivka P má tedy v nekonečnu dva body vratu, jichž tečnou 

 vratu jest přímka smíru, a dva body dvojné. Jiných bodů v neko- 

 nečnu míti nemůže. 



Ježto pronik tečny vratu s křivkou v bodě vratu zastupuje prů- 

 sečné body 3, poznáváme takto, že má P v nekonečnu 10 bodů, a 

 že tedy jest stupně fi =: 10. 



27* 



