o plochách normál ku plochám posouvání stupně čtvrtého. 423 



V této přímce, i stanoví tedy bod vratu i'^ křivky P, v níž rovina 

 křivky W plochu asymptotickou proniká. Zcela obdobným způsobem 

 lze z existence bodu smíru u'^ odvoditi druhý bod vratu křivky -P, 

 v přímce smíru 5'„ obsažený. Jest to bod /^ . Má tedy i křivka 

 P, v libovolné rovině, středem o jdoucí, obsažená, v nekonečnu 2 body 

 vratu, jichž tečnou vratu jest její přímka smíru. 



Rozpomeňme se nyní, kterak jsme svrchu určili bod vratu i^ 

 křivky P. Bod ten vznikl následkem bodu r^^. K tomuto bodu 

 r«,^ náleží bod k^^ . N bodě tomto sestrojená tečna 7"^^ ku Z7„ pro- 

 niká přímku B^ v žádaném bodě ^„ . Tažme se, kterak nyní určíme 

 bod i'^ křivky P. 



Bod ten vznikne následkem bodu r'^-^. K tomuto bodu r'a,^ ná- 

 leží zase bod h^^ ; kde tedy tečna Tj,^ s přímkou B'^ se proniká, 

 tam jest hledaný bod vratu i'^. Zcela obdobně budou body vratu 

 ;■<»>/» v tečně Ťi^ křivky 0„. 



Z toho vychází důležitý výsledek : Všechny roviny, jež obsahují 

 střed o plochy normál, pronikají asymptotickou plochu v křivkách, 

 z nichž každá má 2 body vratu v nekonečnu. 



_ Geometrickým místem těchto bodů jsou obě tečné přímky Tj,^ 

 Ti^ ku křivce smíru Ú^ v jejích pinchpointech U^ l^. (Viz obr. 15.) 

 Poněvadž pokaždé příslušná přímka smíru roviny sečné jest spo- 

 lečnou tečnou obou bodů vratu, jest rovina smíru stacionarnou tečnou 

 rovinou plochy asymptotické, a přímky smíru Tj,^ Ti^ jsou jejími 

 přímkami stacionarnými. V rovině smíru každá tedy platí za trojná- 

 sobnou, pročež obě s dvojnou křivkou Ú^ skládají úplný pronik smíru 

 stupně 2.3 + 2.2 — 10. 



Vrátíce. se ku křivce P, shledáváme, ježto třída plochy různo- 

 směrek, stupeň její a počet rovin obratu rovnají se třídě, stupni 

 a počtu bodů obratu jejího proniku rovinného, že jest, užijeme-li 

 Cremonova označení,*) 



í* = 6, (» r= 10, a = O, 



t. j, tedy třída plochy té 6., stupeň 10., počet rovin obratu 0. Při- 

 pojíme-li k tomu počet přímek stacionárných = 2, nabýváme čtyř 

 veličin, z nichž užitím rovnic Cayleyových ^) odvoditi lze ostatních 



^) Sr. Cremona-Curtze : Grundzúge einer allgemeinen Theorie der Oberfláchen, 



pag. 9. 

 ") Ibid pag. 11. 



