A. Gutzmer : Uber die Iteration liuearer homogener Differentialgleichungen. 55 



mit sich selbst cornponirt oder also iterirt, so erhált man einen Dif- 

 ferentialausdruck der Ordnung 2n: 



und es ist klar, dass die Gleichung Y x — ; befriedigt wird durch 

 das triviale Integrál Y zz 0, d. h. durch die Integrále der ursprung- 

 lichen Gleichung, und durch Y z=z X, wo X ein Integrál der Gleichung 

 Y=zO bedeutet. 



Aus der letzten Gleichung ist ersichtlich, dass das Iterations- 

 resultat wesentlich verschieden ist, je nach der Form, die man der 

 Gleichung Yz=0 vor der Iteration giebt. Ist in der letzteren der 

 Coěfficient der hochsten Ableitung gleich Eins, so ist dies auch in 

 der Gleichung F, == der Fall ; ist aber jener Coěfficient p nicht 

 gleich Eins, so nimmt die an Stelle von Y x = tretende nicht homo- 

 gene Gleichung die Form 



an, aus der ersichtlich ist, dass das Iterationsresultat die verschie- 

 densten Werte annehmen kann, je nach der Wahl von p . Diesem 

 Coěfficienten kann man natiirlich durch Multiplication der Gleichung 

 Y—0 mit einer beliebigen Function der unabhángigen Veránderlichen 

 jeden beliebigen Wert geben. Es liefert demnach die (ein- oder mehr- 

 malige) Iteration einer linearen homogenen Differentialgleichung eine 

 unendliche Mannígfaltigkeit von Diiferentialgleichungen, welche mit 

 der urspriinglichen sammtliche Integrále gemeinsam haben. 



Ich fuge einige weitere, naheliegende Betrachtungen hinzu. 



Zunáchst werde von der obigen Bemerkung eine Anwendung 

 auf die homogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung ge- 

 macht. Iterirt man die Differentialgleichung 



(!) p y'-\-Piy = °i 



so ergiebt sich die Gleichung zweiter Ordnung: 

 (2) v \y" -\-p (p -f 2p 1 )y' + (p[ + p Q p\)y — 0. 



Wendet man nun auf (2) wieder die in der linken Seite von (1) 

 ausgedrúckte Operation an und fáhrt so fořt, d. h. iterirt man (1) 



