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Man ist ferner in den Stand gesetzt, jede Function, deren log. 

 nat nach dem Mac Laurin'schen Satze entwickelbar ist, durch eine 

 unendliche Factorenfolge darzustellen. 



In derselben Weise wie bei den vorhergehenden Entwicklungs- 

 arten, lásst sich auch hier der Beweis herstellen, dass sich eine 

 Function — wenn eine Entwicklung nach 1(1 — x n ) ůberhaupt nioglich 

 ist — nur auf eine einzige Art nach dieser Function entwickeln lásst. 



Die Ersetzung der Potenzen der Stammreihe durch die gleich- 

 wertigen Reihen mit Hilfe der Formel (43) ergiebt sofort eine Reihen- 

 Entwicklung nach 1(1 — x n ) ; werden nun die Glieder nach aufstei- 

 genden Exponenten geordnet, so kommt 



od m=p 

 f(x)=J] f<r) af = f(0) + V V (- lf +1 f- f f • Kl - *>) (44) 



Behufs Auffindung des Coefficienten des allgemeinen Gliedes 

 1(1 — cc w ), welcher auch als eine durch die Gleichung (1) definirte 

 Function ®\n\ aufzufassen ist, wurden dieselben Schliisse angewendet, 

 welche zur Gleichung (5) fuhrten. 



Um die Convergenzbedingungen dieser neuen Reihe zu finden, 

 hat man die der gegebenen Reihe mit jener der Logarithmus-Reihe 

 (as 2 <; 1) zu combiniren. 



1. 



Wird die geometrische Reihe der Entwicklung zu Grande ge- 

 legt, so geht hervor 



n = l O 



Mit Růcksicht auf die Gleichung (14'), fůr welche auch stehen 

 kann 



ist nun 



2l»M-^-*?.= -rír5 (46) 



L i o u v i 1 1 e leitete diese Formel in dem bereits citirten Aufsatze 



