Arithmetische Relationen. 7 



n 



wo sich die zweite Šumme auf alle Teiler t von n bezieht. 

 Hieraus folgt 



n n 



2a t = 2b t . 

 i i 



Jede dieser Summen enthalt a n resp. b n ; wenn nun die entspre- 

 chenden Glieder mit niedrigeren Zeigern einander gleich sind, so muss 

 auch a n — b n sein. Das ist aber thatsáchlich der Fall ; denn es ist 

 a Y z= b t , ferner wegen Gleichheit der zweiten Coěfficienten a, -f- « 2 = 

 b x -\- b 2 auch a 2 = 6 2 u. s. f. 



Folglich besteht der Satz: 



„ Jede Potenzreihe (mit posit. Expon.J lasst sich nur auf eine einzige 



AH in eine Eeihe nach gebrochenen Functionen , n = 1 . 2, 3 . . . 



trans formieren. 11 



Wenn nun in der Gleichung (6) x durch eine solche Function 

 g{y) ersetzt wird, dass sich von beiden Seiten der so umgeformten 

 Gleichung die Nullwerte beliebig hoher Ableitungen independent be- 

 stimmen lassen, so wird als Ergebniss dieser Operation eine Relation 

 zwischen den arithmetischen Functionen 



flKn) = 2?(-l)-f(-^) 



verschiedener n hervorgehen. 



Verschwindet y zugleich mit g(y), u. ist der Nullwert irgend 



eines Differentialquotienten einer beliebigen Potenz von g{y) inde- 



x n 

 pendent darstellbar, so ist er es auch von 1 n . 



Wegen 



{Dl[g(y)f}y=o = 

 wenn p "> r, ist 





wo die obere Grenze h Y vom Exponenten x der niedrigsten Potenz 

 der in eine Potenzreihe aufgelósten Function g(y) abhángt u. der 

 Ungleichung 



