Uber die Iteration liuearer homogener Differentialgleichungen. 57 



Durch die Substitution 



p = M 2 



verwandelt sich diese Gleichung in die lineare homogene Differential- 

 gleichung : 



(6) S5+(ff»-T9Í— l-^)" = a 



Die Gleichung (6) aber stiuimt, wie man sofort erkennt, mit 

 derjenigen uberein, welche man aus (3) mittelst der zur Beseitigung 

 des zweiten Gliedes dienenden Substitution 



y — e z .u 



erhált. 



Ist also f) ein Integrál von (3), so folgt 



und demnach aus (5) 



2 1 Slíd® 



p — ir z=. rj i .& ^ 



V X — — rm' . e fqidx . 



Wie ersichtlich, ergeben sich also fůr q v und q 2 gar keine Be- 

 schránkungen, und wir kónnen daher den Satz aussprechen: 



Jede beliebige lineare homogene Differentialgleichung zweiter 

 Ordnung kann als Iteration einer linearen homogenen Differential- 

 gleichung erster Ordnung dargestellt werden. 



Mann erkennt leicht (z. B. durch Coěfficientenabzáhlung), dass 

 diese Eigenschaft, welche noch nicht bemerkt worden zu sein scheint, 

 auf Gleichungen zweiter Ordnung beschránkt ist. Fiir Gleichungen 

 hóherer Ordnung ergeben sich, wenn sie Iterationen von Gleichungen 

 niederer Ordnung seinsollen, stets Bedingungen zwischen den Coěffi- 

 cienten. Soli z. B. eine Differentialgleichung dritter Ordnung mit der 

 aus (1) durch zweimalige Iteration hervorgehenden Gleichung iiber- 

 einstimmen, so ergiebt sich u. a., schon wegen der Reductibilitát der 

 letzteren, dass die Laguerre'sche Invariante I identisch verschwinden 

 muss. 1 ) 



Da nun die Differentialgleichung zweiter Ordnuug (3) sich als 

 Iteration der Gleichung (1) auffassen lásst, so miissen ihre Integrále 

 nach obigem die Form 



') Comptes Rendus, t. 88, p. 116—119, 224—227. (1879.) 



