184 M. E. Gooaes Teixeira: Remarques sur la théorie des fonctions elliptiques. 



Considérons maintenant la fonction 



f(u) — snu cnu dnu . 



Les périodes de cette fonction sont 2K et 2iK\ et par con- 

 séquent elle admette dans un parallélogramme des périodes un seul 

 póle iK et ce póle est triple. Nous avons donc 



/« - ^éiw + T uéw + (í^ +*+*<— **) + ■ ■ 



On a premiěrement en vertu ďun théorěme bien connu relatif 

 aux fonctions doublement périodiques, A x z= 0. Ensuite, 1'égalité 



sn(u — iK') cn(u — iK) dn(u — iK') — 

 — sn(iK — u) cn(iK — u) dn(iK — ■ u) 



fait voir que le développement de f(u) ne doit pas contenir puissances 

 du dégré pair de u — iK', et que par conséquent A 2 =z 0. Nous 

 avons donc 



A 3 = lim (w — iK') % snu cnu dnu zz-j-.-rr.— zz — -^ . 



J'applique maintenant le théorěme de M. Herinite á la fonction 

 f(u) et je trou ve 



snu cnu dnu zz: -^-^ p'(u — iK) -\- l , 



et en determinant la constante l par la condition ďétre nul le pre- 

 miér membre de cette égalité quand w =: 0, 



snu cnu dnu zz -^rr t $>'(u — iK') . 



De cette égalité et de l'une des antérieures on tire 



dsnu , 



— = — — cnu dnu . 

 du 



