C. Kůpper: Uber das Vorkommen von linearen Schaaren. 265 



Denn jede auf C 5 denkbare gf> wáre Specielschaar (p = 5), daher 

 durch adjungirte C 2 ausschneidbar. Dabei wiirde der Rest von 3 

 Puncten mit D zusanmien die Grundpuncte fiir oo 2 C 2 liefern ; folglich 

 miissen diese 4 Grundpuncte auf einer Geraden L sein, so dass die 

 co 2 C 2 bestehen aus L und den Geraden der Ebene. 



Hat dagegen C 5 zwei Doppelpuncte D t , D 2 so existiren auf ihr 

 co 1 Schaaren gf\ von welcher jede erhalten wird mittels der oo 2 C 2 , 



welche durch D x , D % und einen beliebigen andern Punct der C 5 

 gehen. 



2. Wir wollen im Folgenden die Frage beantworten: Wie viel 

 Doppelpuncte D m u s s eine C n mindestenshaben, damit 

 auf derselbennoch cffi moglich se i, so dass, wenn diese 

 Žahl ó 1 festgesetzt ist, man sicher sein kann, dass auf 

 einer C n mit weniger als á 1 Doppelpnncten nur die 

 j^ 2) existirt. 



Zunáchst erkennt man, dass wenn auf C n ausser yW keine 

 g® sein soli, die Curve jedenfalls weniger Doppelpuncte haben muss, 



als die fiir eine Raum curve R n gleicher Ordnung geltende Minimal- 

 zahl. Denn auf der Projection einer solchen R n kommt eine g%\ 

 gewiss also g^ vor. 



Demnach hátten wir nur solche C n in Betracht zu ziehen, deren 

 Geschlecht p das Maximalgeschlecht p x der Raumcurve B n gleicher 



Ordnung ubertrifít. Auf einer solchen O n p (p ^p^) kann sonach keine 

 gW auftreten, worraus folgt, dáss eine auf ihr vorausgesetzte g<& 

 V o 11 se ha ar sein muss. 



Da wie bekannt p t ^ n — 2, wenn n >- 5, so ergibt sich weiter, 

 dass diese g^> auf C n (n > 5) Specialschaar ware. Mithin wáre sie 

 stets ausschneidbar durch ein Netz adjungirter C w ~ 3 , dessen bestim- 

 mende Grundpuncte erhalten werden als die Restpuncte einer durch 

 eine Gruppe G der Schaar gelegten adjungirten C n ~ 3 . 



Nun konnen aber diese co 2 C n ~ 3 sámmtlich zerfallen in einen 

 constanten Theil und variable Curven C*, welche ein irreducibles 

 Netz von C x constituiren werden, das die <jK 2) aussehneidet, und 

 seine bestimmenden Grundpuncte auf C n hat. 



