Uber das Vorkommen von linearen Scliaaren. 267 



03=: 3 erhált man die niedrigste untere Grenze ^ = 7. Aus C 

 mit 7 D w ird g® durch einNetz adjungirter C s ausge- 

 schnitten, auf ď mit weniger als 7 D ist g*® unmoglich. 



Wenn n>7, muss cc>> — II — sein: 



a 



Denn die co 2 C* můssen wenigstens (x — 1) (n — x)< — 1 Doppel- 

 puncte aufnehmen, und da die Gesammtzahl der Grundpuncte des 

 Netzes hochstens x 1 — x -f- 1 betrágt, so hat man 



x 1 — x -j- 1 ^ (x — 1) (n — x) — 1, d. h. 



/ » + 2 \ , w + 2 .. 



X \ X 2 ) ^ ^~~ 



_ n — 1 



2 = 

 Ist « > 7, so wird der Ausdruck links <C O, falls cc 



2 



yi- ~~ — 1 

 gesetzt wird, rnithin muss cc>- - angenommen werden. Fůr 



n=z2v folgt x ^ v, fůr w = 2w:-j- 1, * >■ v. Ferner wůrde unser 

 Ausdruck positiv fůr sc^l, Werthe, die wir nicht zu berůcksichtigen 

 brauchen. 



cj w zz 8 : řc=:5, cc = 4 wáre zulássig. Beiden Annahraen ent- 

 spricht derselbe Werth von ď 1 = 11; Auf C 8 mit wenigstens 

 11 Doppelpuncten kónnte noch eine g^ existi ren, die 

 dannausschneidbarwáredurch einNetz adjungirter C 5 , 

 oder auch C 4 . 



Construction einer solchen C 8 : 



Nachdem man 11 Puncte D beliebig angenommen hat, kann 

 man auf irgend einer Geraden L wie leicht zu sehen eine Gruppe 

 von 3 Puncten bestimmen, so dass durch diese und die D ein 

 Bůschel (C 4 ) móglich ist. Alsdann bilden die zwei fehlenden Basis- 

 puncte des Bůschels mit den D zusammen die Grundpuncte eines 

 Netzes C 4 . Jetzt wáhle man auf L vier Puncte und lege durch diese 

 und die D zwei Curven C 5 , die einen Bůschel (C 5 ) bestimmen werden. 

 Mittels der Bůschel (C 4 ), (C 5 ) lásst sich L projectivisch erzeugen, 

 wobei als ferneres Erzeugniss eine C & resultirt, wie sie verlangt 

 wurde. 



d) n ■=. 9. Die einzigen zulassigen Annahmen sind x =z 6, x — 5, 

 die entsprechenden unteren Grenzen wáren 14, 15. Hier zeigt sich 

 aber, dass die erste nicht zu erreichen ist aus dem Grunde, weil 



