Uber das Vorkommen von linearen Schaaren. 269 



Netzes C b constituiren. Von diesen nehrne man 19 als Puncte D 

 heraus und lege durch 5 auf L gewáhlten Puncten und die D zwei 

 C 6 . Mittels der beiden hier erhaltenen Biischel (C 5 ), (C 6 ) lásst sich 

 L projectivisch erzeugen, und als Nebenerzeugniss eine C 10 gewinnen, 

 wie sie verlangt wurde. 



4. Allgemeines. 

 Aus. Vorstehendem erhellt, dass die Ordnung x des ausschnei- 



denden Netzes geruass : -^- ^ x :< n — 3 anzunehmen ist. Man sieht 



a 



ohne Weiteres, dass die zugehorige untere Grenze á = (x — 1) 

 (n — x) — 1 um so tiefer liegt, je grosser x ist, da' ja die Factoren- 

 summe x — 1 -j- n — x constant bleibt. Das Maximum von d tritt 



ein bei x z=. — , x = — ^- — je nachdem n gerade, oder ungerade 



A A 



ist, und betrágt um Eins weniger als die Minimalzahl 

 der Doppelpuncte einer Raumcurve R n . Deshalb wird au-ch 

 einer C n mit nicht mehr als d x Doppelpuncten stets ein hóheres 

 Geschlecht als der R n zukommen. 



Hiernach můsste man x moglichst gross wáhlen, um d í zu 

 íinden ; aber man sieht sich beschránkt durch die Erreichbarkeit der un- 

 teren Grenze. Soli námlich das Minimum ů ■=. (x — 1) {n — x) — 1 

 erreicht werden, sei es durch ausschneidende Curven von der x Ul 

 oder hoheren Ordnung, so muss vor allem die Unmógiichkeit vorliegen, 

 dass die Schaar durch Curven von niederer als der x ten Ordnung er- 

 halten wird. Mithin darf irgend eine Gruppe O der Schaar nicht 

 auf eine adjungirte C x ~ x fallen, und hieraus ergibt sich ohne Můhe 

 íur x eine nothwendig zu erfullende Bedingung : Wir werden zunáchst 

 zeigen, dass die Forderung an eine adjungirte C y , die Gruppe G zu 

 enthalten fur diese C y genau y -\~ 1 Bedingungen ausmacht. 



Ist y = n — 3, so besagt dies der Riemann-Roch'sche Satz; 

 zudem findet statt : Innerhalb G kann man stets zwei Puncte p, q 

 angeben, welche auf jeder adj. C n ~ 3 liegen, die durch die iibrigen 

 n — 2 Puncte von G gelegt wird. Wenn y<,n — 3, so nehrne man 

 in G noch n — 3 — y Puncte r u r 2 . . . an, lege durch sie je eine 

 Gerade L u L 2 . . ., so dass eine L weder einen zweiten r, nochjp, q 

 enthált. Kann man jetzt durch die nicht bezeichneten y -j- 1 Puncte 



