Trigonometrische Entwicklungen. 277 



Durch Differenzirung der Kesultate (12) unci (15) entstehen mit 

 Beachtung von 



Bx^ — n^- und DP r — r 



cos qp cos £ cp' 



wenn mit n sec 2 w abgekiirzt, n-\~l fůr rc und ?* -|- 1 fur r gesetzt 

 wird, die neuen Formeln fur gerade n 



n r 



X» = 2 (-ifh^-Qr (16) 



?— 0, 2... ' ' 2 



x/ 2 



n-\- 



n — 1 r — 1 



iL Q.. +1 + 2 2 (- 1) 2 rj r+ \ Q 5;=^ Q, (17) 



r=l,3,5 



Beide Formeln kónnen iibrigens auch unabhángig von (12) und 

 (15) auf áhnlichem Wege mit Beniitzung der hóheren Ableitungen von 



7 cos kw , , . ' sin&cp 



cos kw =: — . cos w bezhw. von sin kw — — : — - . sin w 



cos <p x sin w 



erhalten werden. 



Eine andere Ableitungsart dieser Formeln stiitzt sich auf Modi- 

 ficationen des Tayloťschen Satzes. 



Es ist, wenn 



y[/(^ + *) + />-*')] = x°=:X 



und 



D r X = X 5 



X 



gesetzt wird und / (x) sich nach diesem Satze entwickeln lásst 

 i i ( iv 



2!' 4K ' " ' (2ra) 



i f i V+ 1 



X 2 = f" — — f"" -i 4- i =i f( 2M ) + 



' 2! 7 ^ ^(2íi— 2)! 7 — 



C i v+ 2 



X 4 = f"" \- 4- i -^ /W -f- 



X 2w = _|_y(2«) t , . 



