Trigonoraetrische Entwicklungen. 279 



se findet sich 



X 5 ^ 02M-1 1 



^ í ^ T +2 2 W j! - T r • • • • » 



Wenn nun diese neuen Sátze (a), (/3), von welchen, nebenbei 

 bemerkt, sich manche aiidere schone Anwendungen machen lassen, 

 fiir f(x) z= x m == tg m q) in Ansprucli genomnien werden, so ist 



X 2w = ~- Bf [(x + z)" 1 -f {x — í) m ~] — 



- ~2 ^^ (m-2n)l [(1 ~ ^^ + ( ~ 1)W (1 + ^"^ ' 



also fiir gerade m X 2w =(— 1) :; ^-^r CL- 2 n 



(m — 2n) ! 



m — 2w — 1 



imd fiir ungerade m —( — 1) — — m -——.p m _ 2n . 



(m — 2n) ! 



Dies in («) eingesetzt und m — 2»z: r genornmen, ergiebt die 

 Forineln (12) und (16). 



Ferner ist ť (x) =. mx m ~ 1 , 



Y 2n — 4r. D* n \{x + i) m — (x — i) m } — (— l)^™-2«+i _ L__ 



2 t x iA i > \ j j v / 2 (m — 2ri)\ 



[(1 + M^*-* 1 + (~ l) m+1 (1 — ix) m ~ 2n ~\ , 



daher bei geradem m 



vn. — 9w. 



! 



Y2» — ( n 2 w • p 



(m — 2w) ! 

 und bei un geradem m 



m — 2w-j-l 

 — ■ ( — 1) "7 x i Qm—2n • 



(m — 2n) ! 



Wird dies in (/?) substituirt, m — 2n =: r, m -j- 1 fiir m ge- 

 schrieben und schliesslich durch m ~J- 1 dividiert, so entstehen die 

 Formeln (15) und (17). 



Da sich zufolge (1) und (2) P nur durch ungerade, und Q 

 nur durch gerade Potenzen von x ausdriicken lásst, so folgt, dass 



