290 Franz Rogel 



Wird diese Operation wiederholt, so resultiren Entwicklungen, 

 welche von den eben Gefundenen nicht wesentlich verschieden sind. 



Beide Darstellungen (47) und (48) zeichnen sich dadurch aus, 

 dass sie die einzig moglichen dieser Art sind. 



Denn gesetzt, es gábe noch eine zweite, von (47) verš chiedene, 

 aber gleichwertige Entwicklung, so wáre die Differenz beider eine 

 ■Pin+i- Pzn, . • • , Pn+\ verkniipfende Identitát, welche aber, wie un- 

 mittelbar nach Ableitung von (44) bemerkt wurde, nicht bestehen 

 kann. ín analoger Weise lásst sich die Behauptung bezuglich (48) 

 rechtfertigen. 



Aus gleichen Griinden giebt es auch keine Darstellungen von 

 íc 2w +i ? x 2n durch weniger als n~{~\ P resp. Q. 



Zwischen den Coěfficienten -4, welche aufeinanderfolgenden n 

 entsprechen besteht ein einfaches Recursionsgesetz. 



Wird námlich (46) zweimal differenzirt, nach jeder Differen- 

 tiation mit sec 2 <p abgekůrzt, in dem Ergebnisse 



(— l)"- 1 (2» + 1) 2n x 2n -* = (2n + l)2n P 2w _i -f . . 



2w+l 



P n -! sodann mit Hilfe den sich fur n — 1 aus (42) ergebenden 

 Identitát 



P 2M _ 2 - 2 ^ 1] jP 2 n-S +....+(- I)"" 1 ^~ X [lZ í) P -* = ° 



durch die andern P ausgedrůckt und eingesetzt, werden ferner die 

 gleichnamigen Glieder zusanimengezogen, schliesslich durch 2n{2n -j- 1) 

 dividirt und das Resultat 



(- I)"" 1 a: 2 "- 1 = P 2n _i + 



r2n.2n — l 2n + 1 . 

 A + 



_2w-fl.2n i 



, / ,s ó ., n4-l. n In— 1\ 2M + X 1 „ . 



_L ( — iy» 2~ n + 1 ! i P4- 



^ { 1} . 2n + 1.2n\ O / . J 2w _ 2 ^ 



2n — 1.2n — 2 2w ť , 



^ L 2w + 1 . 2w 2 

 + ( 1} J 2» + 1.2n\ 1 / 7 U-* 



