292 Franz R gel 



V. 

 Entwicklungen nach P, Q, B, und S. 



Bezeichnet Z eine der Functionen P, Q, R oder #, und besteht 

 eine Entwicklung 



f(x) = C a Z a J r C (3 Zp+... + C K Z„ 



wo die Indices a, /3, ... jí nach einem gewissen Gesetze fortschreiten, 

 so wird sie nur dann die Einzige dieser Art sein, wenn zwischen 

 den 



Zai Zp, . . . Z x 



keiue line are Relation existirt. 



Unter derselben Bedingung gilt auch der Satz der „unbestimmten 

 Coěfficienten" . 



Wie die bisher abgeleiteten Identitáten zeigen, hángt die Existenz 

 solcher Beziehungen wesentlicli von der Nátur der Zeiger-Reihe 

 a, /3, . . . jí ab. 



Als wichtigste und zugleich einfachste Fálle durften die nach- 

 folgenden in Betracht zu ziehen sein. 



a) Die Zeigerreihe ist die natiirliche Zalenreihe von 1 bis zu 

 einer endliclien Zal n. 



Hiefiir bestehen die Relationen (6) und (8) fůr P und Q; fur 

 R und S sind keine vorhanden. 



1) Sie ist wieder die natiirliche Zalenreihe, aber von einer Zal 

 n > 1 angefangen. 



Hier bestehen die Identitáten (42) nnd (43), in welchen n -f- 1 

 Functionen P von P n an und n -j- 2 Functionen Q von Q n an mit 

 einander linear verknůpft sind. Ein linearer Zusannnenhang zwischen 

 P n P n+1 ... P p , p <; 2w und zwischen Q„, Qn+i, ... Q^ q <. 2n -(- 1 

 ist nicht vorhanden. 



Die einfachsten Beispiele bilden die Darstellungen von x 2n + x 

 und x 2n durch ?i Functionen P resp. Q (siehe 47 und 48), welche 

 das Merkmal der „Einzig Moglichen" besitzen. 



Die naheliegende Anwendung dieser Forrneln auf Polynome in 

 x wird jedoch zu Ergebnissen fiihren, denen im Allgemeinen die ge- 

 nannte Eigenschaft nicht zukonnnen wird, da sich hiebei moglicher- 

 weise Folgen von P resp. Q bilden kónnen, welche sich dann mit 

 Identitáten von der Fora (42) bezw. (43) in beliebiger Weise additiv 



