Trigonometrische Entwicklungen. 295 



bei der vólligen Willktirlichkeit der Grossen a w , a n einen ganz un- 



bestimmten Wert besitzt. 



Analoge Eesultate ergeben die Derivationen von (52) und (55) 



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 ftir gerade und ungerade Q, sowie die Einsetzung (p — — — <p' 



ftir gerade und ungerade R und S. 

 Bei allen diesen Relationen 



00 



werden sich die Glieder, mít unendlich wachsenden n der Nulle 

 náhern. 



Nur unter dierer Bedingung entstehen nach Einftihrung von x 

 resp. y Gleichungen, deren sáni nit liché Coěfficienten verschwinden. 



Das Gesanimtergebniss dieser Untersuchungen ist somit, wenn 

 nur Darstellungen durch eine einzige Art von Functionen Zberuck- 

 sichtigt werden: 



a) Entwicklungen nach entweder g e r a d e n oder ungeraden 

 P r oder Qr konnen nur bei endlichen Zeigern r, 



b) solche nach beliebigen E r und S r ebenfalls nur bei end- 

 lichen Zeigern, und 



c) Entwicklungen nach aufeinanderfolgenden P,. oder Q r . r = m, 

 m -j- 1, m -\~ 2, . . . n — 1, n im ersteren Falle nur ftir n <. 2m, im 

 letzteren nur ftir n <; 2m -f- 1 



auf eine einzige Art vollzegon werden. 



Zu letztereni Punkte muss bemerkt werden, dass wegen der Un- 

 bestimmtheit von sin co cp, bezhw. cos co <p die Annahme eines un- 

 endlich grossen w, welche zu einer unendlichen Reihe ftihrt, nur ein 

 unbrauchbares Resultat liefert. 



Unendliche Reihen in Z — wegen des unbestimmten Characters 

 ihrer Coěfficienten vollig wertlos — sollen daher fortan unbertick- 

 sichtigt bleiben. 



Um die Form solcher Functionen f(<p) zu finden, welche sich 

 in Reihen 



V M r Z r 



mit endlichen Zeigern verwandeln lassen, dient die Bemerkung, 

 dass Z r hierin durch x resp. y u. zw. nur auf eine einzige Art aus- 

 drtickbar ist. 



