296 . Franz Rogel 



Einer jeden Keihe in Z mit endlichen Zeigern entspricht daher 

 nur eine einzige endliche Reihe in x resp. y. 



Urngekehrt gilt somit der Satz: 



Auí eine einzige Artkonnen nur solche Functionen 

 nach Z entwickelt werden, welche sich durch ein endli- 

 ches Polynom in x resp. y darstellen lassen. 



Schliesslich wáren noch jene Eigenschaften d. Function/(qp) = F(x) 

 bezw. = F'(y) aufzusuchen, welche gleíichartige Entwicklungen in 

 Z, d. h. solche nach einer einzigen Art von Z zur Folge haben. 



Zufolge der Formeln (12), 15), (16) und (17) entstehen die 

 Functionen P nur aus ungeraden die Functionen Q hingegen nur 

 aus geraden Potenzen x\ zufolge (18), (19) (20) und (21) geht 

 jedeš R oder S aus beliebigen Potenzen von y hervor; daher gilt 



Darstellungen durch die P gehen nur a u s unpaaren, 

 solche durch die Q nur aus paaren Polynomen in x und 

 solche durch die R oder S aus beliebigen Polynomen 

 in y hervor. 



Beispiele. 



1. Potenzen von P. (56) 



( (1+tt) "- (1 - tt) ")",i» = i*. 



a) n ungerade. Die binomische Entwicklung hat kein mitt- 

 leres Glied, und lassen sich gleich weit von den Enden abstehende 



71 ' 1 



Glieder paarweise zu — ~ — Differenzen vereinigen. 



(_ i) 2 2 » i Pl - (j) ((i 4- u) mn - (i - < w | 



I A 1(1 ~\- U ) mn ~ m (1 — Uf — (1 — u ym-m (1 -ftt)«j 



n — 3 / \ / w+3 »— 1 n-1-1 n— 1\ 



1) | w _3 M(l+iQ (1-u) — (l-«) 2 (l+w) 



M— 1 / \ / M+l M— 1 



- 2 - n \ m ~r m ^r 



-h(-l) L-l (l+~) (1-^) ~ 



