Bestimmung der Minim algruppen fiir O. 405 



(8 + 1) (8 + 2) , - 



so lassen sich oo g C n ~T~° durch ^ ?í ( w _|_^) legen, wir 



werden darthun, dass diese C n ~ s nicht alle zerfallen konnen. Ein 

 Zerfallen konnte hier nur in der Weise gcsehehen, dass die C n + 8 

 bestánden aus eiuer festen Curve nebst einem variablen nicht durch- 

 weg reduciblen Theile. *) 



Beachtet man, dass C n in Verbindung mít irgend einer O s 

 eine unserer C w + ď liefert, so sieht man, dass jene feste Curve ein 

 Factor der <T sein muss, etwa C n ~ v , welcher alsdann eine irreducible 



o fache Mannigfaltigkeit von C v + s zuzufiigen wáre. 



Hiebei entfielen von den Gruppenpuncten (n — v) (n -f- d) auf C n ~ v , 

 so dass die C vJ t~ s noch v (n -f- d) dieser Puncte gemein hátten. 

 Konnen nun so viele Puncte einer irreduciblen (7 1 "+ ď die Basis fiir 

 die erforderliche Mannigfaltigkeit abgeben? Diese Frage ist zu ver- 

 neinen, wie aus den Sátzen uber die Schaaren grosster Beweglichkeit 

 aufC/^ 5 erhellt. 



Námlich eine Schaar, deren Gruppen weniger als d(n-\-d) 



Puncte umfassen, kann die Beweglichkeit — ^~ ' nicht erreichen, 

 da dies das Maximum fiir d (n -J- d) Puncte ist. Demnach wird auch 

 die Basis (auf C t v + 8 fúr oo í*±12Jl±i) C v+8 h5c hstens 

 (v -f ů) 2 — ó (v -f- 6) = v (v + ů) 



d. i. weniger als v (n-\-ů) Puncte enthalten. 



Die Beschaffenheit einer Minimalgruppe ist somit festgestellt : 

 Sie ist der Schnitt der Curve niedrigster Ordnung, die 

 durch sie geht (C n ) mit einer irreduciblen <? m + 3 - w i wobei 



n ^ — J- — . Zugleich bemerkt man, dass die Curven 



durch # n ( n _j_tf) deren Ordnung kleiner als w-J-ď=:m-[-3 — n 



ist, die C n zum Bestandtheil haben. Ganz das námliche Re- 

 sultat wird sich im Folgenden ergeben: 



Zweitens. m-j-3 — n<.n, mz=2n — 3~ď(d>0). 



Das etwa móghche Minimum fiir Q wáre n(n — ů). Soli dass 

 selbe erreicht werden, so kann 



*) a. a, O. B. 3. „Ueber algebraische Curven". 



