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4ü;-i 



Die Relation 351) gilt für jeden Punkt der ebenen Schnittkurve, also auch für den von uns 

 ursprünglich betrachteten Punkt und wir erhalten für denselben: 



cfs 



-nt'.Vrii.t'. 



352) 



Dieselbe Überlegung kann ich aber für jeden beliebigen ebenen Normalschnitt durch den betrachteten 

 Punkt anstellen und erhalte immer in 352) clie zu dem Schnitte gehörende Krümmung, wenn ich jedesmal 

 die den betreffenden Schnitt charakterisierende Tangente t' einsetze. 



\'erwenden wir noch für it den aus 343) folgenden Wert, so ist: 



av 

 Js 



Jt' 



■-^Vct'^ 



■l-t'. 

 X 



X 



-V? Ui 



rV: 



1 _ 



:V: 



Nun ist ; i 1 li also nach 344); 



somit 



v?.t' = n, 



elf ] ,_ ,, „ 



ds X' 



353) 

 354; 



355) 

 356) 



Weiter ist: 



t''(V-Vc.}.t'-=t''(f II rlf). (':":"?)•(/ llrUl-t', 357) 



weil ja t'-n := ist. Nun sind, wie man leicht erkennt, sowohl VtVc, wie auch (/— ii!n)'(VjV?)«(/ — ii;ii) 

 symmetrische Dyaden, die letztere ist überdies planar und liegt in der zu u senkrechten Ebene; bedeuten i 

 und i zwei geeignet gewählte, in dieser Ebene liegende aufeinander senkrechte Einheitsvektoren, x und y 

 die zugehörenden Koordinaten, so kiinnen wir schreiben: 



(/ lI;U)'(V;~;j'(,/ ll;li;=:i;i '+jrj ^ 



358) 



Bezeichnen wir noch den W'inkel, welclien die jeweils betrachtete Einheitstangente t' mit der 

 i-Richtung bildet, durch s, so erhalten wir: 



t'-(V;''7?).t'— cos^s 





8ä- 



4- sm'-3 



by-^ 



ds X \ ix^ 



Vüv die beiLlen Hauptschnitle folgen die Werte: 



11- ( cos- £ + sm-s 1 = 11 . 



R 



8r- 



359) 

 360) 



also für die mittlere Krümmung: 





1 _ 

 1 _ 



1 b-'z 



X bx' 



1 bU 





R, ~ 



A^ 8.V- 



1 



/ 1 1 \ 

 1 = • 



\/?, R.,1 



1 ' bH ^ ö--',- 



2 



2A'i bx' ^ by' 



361) 



362) 



Die hier des \'erständnisses halber entwickelten vektorgcometrischen .Sätze finden sich schon bei 



Oibbs. 1 



1 Gibbs, VckloiMiialysis 1902, p. 410. 

 iJtnlcscIiriften Jer nKilliem.-natiirw. Khisse, 93. B.iiul. 



