ÜBER DIE 



DARSTELLUNG GEGEBENER FUNKTIONEN 

 DURCH SINGULARE INTEGRALE 



1. MITTEILUNG 



VON 



HANS HAHN 



(BONN) 



VORGELEGT IN DER SITZUNG AM 30. MÄRZ 1916 



Bekanntlich führen viele Probleme der Analysis auf die Frage, ob für einen gegebenen »Kern« 

 's{c„x,n) un'd eine i unter gewissen Beschränkungen verschiedener Art) willkürliche Funktion /(6) die 

 Beziehung gilt: 



(1) lim rfii)rf(i,x,n)di=/ix). 



'' = oo Ja 



Soll diese Formel insbesondere an allen Stetigkeitsstellen von/('5) bestehen, und gehören zu den 

 zugelassenen Funktionen /speziell auch diejenigen, die in einem Intervalle = 1, außerhalb dieses Inter- 

 valles z= sind, so muß der Kern -^ (i, x, n) folgende Eigenschaft haben: für jedes Intervall/, das den 

 Punkt X im Inneren enthält, ist: 



lim / tp (^, X, 



n) dk - 1, 



während, wenn x außerhalb / liegt: 



lim [ 

 " = °°Jt 



tp (5, X, n) di=0 



ist. Das in Formel (1) auftretende Integral heißt dann ein singuläres Integral mit der singulären Stelle .r. 

 Eine umfassende Untersuchung solcher singulärer Integrale rührt von H. Lebesgue her. ' An die 

 Ergebnisse dieser Untersuchung wird hier angeknüpft. Wir stellen der von Lebesgue mit großer Voll- 

 ständigkeit gelösten Frage, für welche Kerne die Beziehung (l) an allen .Stetigkeitsstellen vonf(i) gilt, die 

 Frage an die Seite, für welche Kerne die Beziehung: 



(2) lim r /(4) tf (?, X, u) d ? =/('") ix) 



" = °° Ja 



überall dort gilt, wo die in-le Ableitung/("'U,r) von/(.r) existiert. Dabei legen wir dem Begriffe der iii-ien 

 .Ableitung nicht die übliche Definition zugrunde: »/('"> (,r) ist die erste .Ableitung von /("'"'^'a--)-<, sondern 



1 .\nnales de Toulouse, Serie 3, Bd. 1, p. 25 ff. — Kur/, vorher hatte einigi: hieher gehörige Theoreme bewiesen E. W. Hobson 

 Proc. of the London math. Soc. Serie 2, Bd. 6, p. 349. 



Denkschriften der m.ithem.-naturvv. Klasse, 93. Band. -g 



