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wir definieren in weiter tragender Weiset: existieren an der Stelle x die Ableitungen bis zur {m — l)-ten 

 Ordnung und gilt die Entwicklung: 



f{x + h) =/(.r) H / {x) + . . .-\ /{'«-!) (x) + a.h"' + w (li).h"\ 



1 ! {in — 1 ) ! 



wo a eine Konstante und lim co(//) z= ist, ^o wird die ;M-te Ableitung definiert durch /"('"' (.r) ;= m\ .a. 



Aus der Beantwortung derFi-age nach der Gültigkeit \'on (2) lassen sich einerseits nun Bedingungen 

 herleiten, unter denen (I) nicht nur an allen Stetigkeitsstellen von f{i) gilt, sondern überall dort, \vof{i) 

 m-ie Ableitung jener Funktion ist, die aus/(^) durch m hintereinander ausgeführte unbestimmte Inte- 

 grationen entsteht ä; andrerseits gewinnt man aus der Beantwortung unserer Frage Bedingungen, unter 

 denen Beziehung (1) ;«-mal nach .r diffeienziert werden darf, und zwar in der Weise, daß man auf der 

 linken Seite unter dem Integralzeichen differenziert. 



Nach diesen allgemeinen Untersuchungen werden nun drei Tj'pen singulärer Integrale näher 

 betrachtet, die ich als den Stieltjes'schen T_vpus, den Weierstrass'schen Typus und den Poisson'schen 

 Typus bezeichne. Der erste dieser Typen führt nämlich in einem besonders einfachen Falle auf eine 

 Formel, die in einem Briefe von Stieltjes an Hermite enthalten ist, und die mit Formeln von Laplace und 

 Darboux in engem Zusammenhange steht. •' Der zweite dieser Typen diente Weierstrass zu seinem 

 berühmten Beweise, daß jede stetige Funktion unbeschi'änkt durch Polynome approximierbar ist. Der 

 dritte endlich enthält als Spezialfall das bekannte Poisscn'sche Integi'al, das die erste Randwertaufgabe der 

 Potentialtheorie für den Kreis löst und auf die sogenannte Poisson'sche Summierung nicht konvergenter 

 Fourler'scher Reihen führt. Ein noch einfacherer Fall dieses dritten Typus liefert eine Formel, die als das 

 Analogon der Poisson'schen Summierung für das Fourier'sche Integraltheorem betrachtet werden kann, 

 da sie aus der Poisson'schen Summierung der Fourier'schen Reihe durch denselben Grenzübergang 

 hergeleitet werden könnte, durch den die Fourier'sche Reihe ins Fourier'sche Integral übergeht. 



§ I. Einige Sätze von Lebesgue und ihre Übertragung auf unendliche 



Intervalle. 



Sei <: a, b> ein endliches Intervall*: a^x:^b. Wir bezeichnen im Folgenden: mit ^^ die Klasse 

 aller in <: a, b:>- integrierbaren •' Funktionen; mit Jy., die Klasse aller in <; a, b> meßbaren 

 Funktionen, deren Quadrat in<rt, Z'> integrierbar ist; mit ^3 die Klasse aller in < a, b > 

 geschränkten, meßbaren Funktionen; mit ^4 die Klasse aller Funktionen, die in <:a,b:>' nur 

 UnStetigkeiten erster Art besitzen. " 



Es bedeute 9 (', «) eine für alle i von <,a,bz>- und alle nicht negativen ganzzahligen n definierte, 

 als Funktion von | in <^a,b:> integrierbai'e Funktion. Wir setzen (allemal wenn dieses Integral existiert): 



In{t)=rf{i)'Hi>n)di 



Ja 



1 Diese Definition setzt nicht, wie die übliche, voraus, daß/("' — (5) in einer Umgebung der Stolle x existiert. 



- Man beachte die zugrunde gelegte Dsfinition der ;«-ten Ableitung. Bei dar üblichen Definition würda der Sat2, für beliebiges 

 m nicht mehr aussagen, als für ;h == 1, für welchen Fall er sich (in etwas abweichender Form und mit anderem Beweise) schon bei 

 Lebesgue findet: a. a. 0. p. 80. 



3 Wir verweisen diesbezüglich auf eine kleine Abhandlung, die Lebesgue dieser Formel widmet: Ann. de Toul. Serie 3, 

 Bd. 1, p. 119 ff. 



■1 Es bedeutet stets < a, ß :^ ein Intervall mit Einschluß, (c, ß) ein Intervall mit Ausschluß seiner Endpunkte. 



5 Das Wort »integrierbar« ist hier, wie im Folgenden, im Sinne der Lebesgue'schen Integration zu verstehen. 



Das heißt: jede Funktion von g'i hat in einem inneren Punkt von "^ a, h > einen rechtsseitigen und einen linksseitigen, im 

 Punkt a einen rechtsseitigen, im Punkt fe einen linksseitigen endlichen Grenzwert. 



