Darstellung gegebene]- Fiiiikfinuen. 587 



Von H. Lebesgue wurden folgende Sätze bewiesen: * 



I. Damit lim /„ (/) = sei für alle Funktionen von '^^, ist notwendig und hinreichend, daß '^{i,n) den 



« = oo 



Bedingungen genügt: 



1. Es gibt eine Konstante i¥, so daß, abgesehen von Nullmengen: ^ 



[cp {i, n)\ < M für alle n und alle i von <: ß, & >. 



2. Für jedes Teilinterval! ^ <: a, ß :> von < a, b:> ist; 



r? 

 lim I 'f (I, n) di — 0. 



II. Damit lim /„ (f) z=zO sei für alle Funktionen von '}^.„ ist notwendig und hinreichend, daß 'f (|, n) den 



11=: oo 



Bedingungen genügt: 



1. Es gibt eine Konstante M, so daß: 



I 



(cp (6, n)y- di-^M für alle 7«. 



2. Für jedes Teilintervall < a, ß::> von < a, & > ist: 



lim / 'f (I, »■) c/fe nr 0. 



III. Damit lim Inif) = sei für alle Funktionen von ^^-g, ist notwendig und hinreichend, daß (p (5, n) 



n = 00 



den Bedingungen genügt: 



1. Zu jedem |j, > gibt es ein X > 0, so daß für jede Menge / sich nicht überdeckender, in 

 <: a, b > gelegener Intervalle, deren Gesamtinhalt ^ X ist, die Ungleichung besteht: 



/ I 'p (i, n) I di-<: |x für alle n. 



2. Für jedes Teilintervall < a, ß > von < a, b :> ist: 



lim f 'f {i,n)d^ = 0. 



" = 00 Ja 



IV. Damit lim /„ (/) ^ sei für alle Funktionen von (5"4> ist notwendig und hinreichend, daß cp (i,n) 



n = CO 



den Bedingungen genügt: 



1. Es gibt eine Konstante M, so daß 



r l'p (i, n)\ di <:M für alle n. 



2. Für jedes Teilintervall < a, ß >» von < a, ^ >> ist: 



r cp (I, n) rf ? = 0. 



lim 



n = oo 



Diese Sätze können, mit geringfügigen Abänderungen, auch auf Intervalle übertragen werden, die 

 sich ins Unendliche erstrecken. Es wird genügen, dies für das Intervall (— =0, + 00) zu besprechen. 



1 Ann. de Toulouse, Serie 3, Bd. 1, p. 51 ff. Dabei ist bei Anschreiben von lim /„ (/) stets mitverstanden, daß 7„ (/) für 



alle « existiert. 



- unter einer »Nullmenge« wird eine Menge verstanden, die, im Sinne von Lebesgue, den Inhalt hat. 



3 Zu den Teilintervallen -= a, ß > von <■ a,b >, nicht aber zu denen von {a, b), rechnen wir auch das Intervall < n, & > selbst. 



