588 H. Hahn, 



Man erhält die Sätze für dieses unendliche Intervall am einfachsten, indem man sie durch die 

 Substitution : 



e^+ 1 1 — M 



auf die Sätze für das endliche Intervall < — 1, 1 > zurückführt. Die Substitutionsformeln lauten: 



G(u)du = 2 G di 



Die Definition der Klassen ^f bleibt für unendliche Intervalle dieselbe wie für endliche Intervalle. 

 Dabei hat man, was die, Definition von ^^ anlangt, zu beachten, daß wir eine Funktion /(^) dann und nur 

 dann als integrierbar in ( — ■ oo, -f oo) bezeichnen, wenn: 



r\fm^ 



lim I \fmdi 



«=-f oo 



einen endlichen Wert hat, so daß auch im unendlichen Intervall jede integrierbare Funktion absolut 

 integrierbar ist. — Was die Definition von g^ anlangt, so verlangen wir, daß für die zu g^ gehörigen 

 Funktionen auch die beiden Grenzwerte: 



lim /(l) und lim f{i) 



4=— oo ^= + oo 



existieren und endlich sein sollen. 



Dies vorausgeschickt erhalten wir, wenn wir nun: 



£l-oo 

 f{i) ? (6, fi) di 

 oo 



setzten, folgende Sätze: 



Iß. »Damit lim J„if) = sei für alle Funktionen von %^, ist notwendig und hinreichend, daß cp(?, n) 



11-= CO 



den Bedingungen genügt: 



1. Es gibt eine Konstante M, so daß abgesehen von Nullmengen: 



|(p (£, n)\ < M für alle n und alle i 



2. Für jedes endliche Intervall <: a, ß ::> ist: 



lim I w (§, 11 



•' = ooJ„ 



) di, — 0.''- 



Die Bedingungen sind notwendig. Für 2. ersieht man dies, indem man für/ die zu ^^ gehörige 

 Funktion wählt, die in < a, ß :> gleich 1, sonst z= ist. 



Angenommen es wäre 1. nicht erfüllt, so wäre für: 



(3) (1) (w, m) = (p ( lg ^, n 



in <— 1, 1 >- Bedingung 1. von Satz 1 nicht erfüllt; es gäbe also eine in <. — 1, 1 >* integrierbare 

 Funktion g{u), für die nicht: 



(4) lim / g{u) ^ (u, n) du=: 



lim I i 

 » = ooJ^i 



